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12研究生数理统计习题部分解答 第六章 抽样分布 （1994年、数学三、选择）设是来自总体的简单随机样本，是样本均值，记，，，则服从自由度的分布的随机变量是（ ）。. .. . [答案：选]当时，服从自由度的分布的随机变量应为 、由， 而不是、由 。 （1997年、数学三、填空）设随机变量相互独立，均服从分布且与分别是来自总体的简单随机样本，则统计量服从参数为（ ）的（ ）分布。 [答案：参数为（）的（）分布]解：由相互独立，均服从分布，又与分别来自总体，可知与之间均相互独立，均服从分布因而，，，，且与相互独立，因而服从参数为的分布。 （1998年、数学三、填空）设是取自正态总体的简单随机样本且，则（ ），（ ）时，统计量服从分布，其自由度为（ ）。 同学习指导文件综例6.9.1 [答案：（），（）时，统计量服从分布，其自由度为（）]由统计量设即由可知，，且    若统计量服从分布，则由，可知自由度为且服从标准正态分布，即，，。 （1999年、数学三、证明）设是取自正态总体的简单随机样本，，，，证明统计量服从自由度为的分布。证明：记（未知），易见，由于和相互独立，可见，从而 由正态总体样本方差的性质，知 由于与独立、与以及与独立，可见与独立。于是，由服从分布的随机变量的结构，知 。 （2001年、数学三、填空）设总体X服从正态分布,而是来自总体的简单随机样本，则随机变量 服从（ ）分布，参数为（ ）。 同学习指导文件综例6.9.3 [答案 填：F (10,5)]解：且显然此二者相互独立，则： （2001年、数学四、计算）设总体X服从正态分布，从中抽取简单随机样本，（），其样本均值为，求统计量的数学期望E(Y)。解：   魏宗舒 设是来自服从参数为的泊松分布的样本，试写出样本的联合分布律。 解? ????????? ??? ??? 2. 设是来自上的均匀分布的样本，未知 （1）写出样本的联合密度函数； （2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？ （3）设样本的一组观察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。 ???2.?解? （1）??? ????????? ??????????????????????0??????????? 其他 （2）和是，和不是。因为和中不含总体中的唯一未知参数，而和中含有未知参数。 （3）样本均值 样本方差实际应为除以n-1 样本标准差。 查表求，，，。 3. 解? ，，，。 ??? ??? 4. 设，求常数，使。 ???4. 解? 由t分布关于纵轴对称，所以即为。 由附表5.6可查得，所以。 ??? 5. 设是来自正态总体的样本，试证： （1）； （2）。 5.证明： （1）独立同分布于，由分布的定义，，即。 （2）易见，，即，由分布的定义，，即。 ??6. 设是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个都服从。 （1）试给出常数，使得服从分布，并指出它的自由度； （2）试给出常数，使得服从t分布，并指出它的自由度。 6. 解 （1）易见，即为二个独立的服从的随机变量平方和，服从分布，即；自由度为2。 （2）由于，则。 又，与相互独立，则 即???????????? 即，自由度为3。 ???? ??7. 设是取自总体的一个样本，在下列三种情况下，分别求：（1）；（2）；（3），其中。 ???7. 解?? （1） ???? ???? （2） （3），其中 ??8. 某市有100000个年满18岁的居民，他们中10%年收入超过1万，20%受过高等教育。今从中抽取1600人的随机样本，求： （1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率； （2）样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率。?? ?8. 解 （1）引入新变量： ?? 1，第个样本居民年收入超过1万 ?????? 0，第个样本居民年收入没超过1万 其中 易见： 又因，故可以近似看成有放回抽样，相互独立。 0-1分布Ex=p,Dx=pq 样本中年收入超过1万的比例即为，由于较大，可以使用渐近分布求解，即，所求概率即为 （2）同（1）解法 引入新变量： ?? 1，第个样本居民受过高等教育 ??????