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平面向量复习课 复习大纲： 基本概念 基本运算 两个等价条件 一个基本定理 应用举例 基本概念 向量、向量的模及向量的表示方法. （1）向量：既有大小又有方向的量称为向量. （2）向量的模：向量的长度 （3）向量的表示： 图形表示： 字母表示： 向量的模： 坐标表示： 零向量及其特殊性 （1）零向量模长为0，方向任意 （2） （3）， （4） （5） 3. 单位向量：模长等于一个单位长度的向量. 4. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 5. 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 6. 相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量. 7. 两个非零向量与的夹角： 首要的是通过向量平移，使两个向量共起点. 例1 如图所示，设是正六边形的中心，分别写出、、的共线向量，并指出哪些向量与其相等. 首要的是通过向量平移，使两个向量共起点. 基本运算（向量途径） 向量加法的平行四边形法则（共起点） 向量加法的三角形法则（首尾相接） 向量减法的三角形法则 实数与向量的积是一个向量 （1）当时，长度，方向： 当时，与同向； 当时，与反向； 当时，方向任意； （2）当时，则对于任意的实数，都有 例2 如图，填空. （1）_____ （2）_____ （3）_____ （4）____ （5）_____ （6）____ 例3 已知□的两条对角线相交于点O，设，.试用，表示、、. 练习 如图所示，平行四边形的对角线、交于点，线段上 有一点满足，线段上有一点满足.设，，试用，表示. 5. 两个非零向量与的数量积 几何意义：叫做向量在方向上的投影 例4 已知两个单位向量与的夹角为，若，，试求与的夹角的余弦值 二、基本运算（坐标途径） 若，，则 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 例5 已知下向量，，求（1）（2）（3）（4）在方向上的投影. 三、两个等价条件 若，，则 若向量和非零向量平行，即有唯一的实数，使 若非零向量和非零向量垂直，即 例6 平面内给定三个向量，， 求满足的实数，； 若，求实数； 若满足，且，求. 练习 2. 已知点，，，求证：. 3. 已知和向量，并且向量，求的纵坐标. 4. 在直角坐标系内，已知，，，求证，，三点共线. 四、一个基本定理 平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一个向量，有且只有一对实数，，使，我们把不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. A B A B C D E F O A B C D O A B C D O O N M D A B C