高中数学必修5自主学习导学案：3.3.2简单的线性规划问题.docVIP

3.3.2 简单的线性规划问题 1．新课引入 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h, 每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么? 设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由己知条件可得二元一次不等式组：(*) 思考：若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大? 2．简单的线性规划问题 不等组(*)是一组对变量的约束条件，这组约束条件都是关于，的一次不等式，所以又称为线性约束条件. 函数称为目标函数,又因是关于变量，的一次解析式,所以又称为线性目标函数. 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题. 满足线性约束条件的解叫做可行解. 名称 意义 约束条件 由变量x，y组成的不等式组 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数 关于x，y的函数，如z＝2x＋3y等 线性目标函数 关于x，y的一次函数解析式 可行解 满足线性约束条件的所有解 可行域 由所有可行解组成的平面区域 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题 ※ 典型例题 考点．求线性目标函数的最值例1若变量x，y满足约束条件且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是(　) A．48 B．30C．24 D．16 分析：先将不等式2y－x≤4转化为x－2y≥－4，画出不等式组表示的平面区域，并找出目标函数y＝＋的最优解，进而求得a，b的值． 解析：，∴，由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分，由z＝5y－x，得y＝＋. 由图知目标函数y＝＋，过点A(8,0)时，zmin＝5y－x＝5×0－8＝－8，即b＝－8. 目标函数y＝＋过点B(4,4)时，zmax＝5y－x＝5×4－4＝16，即a＝16. a－b＝16－(－8)＝24，故选C. 答案：C 点评：解线性规划问题的步骤 变式1．设z＝2x＋y，式中变量x，y满足下列条件求z的最大值和最小值． 解：作出可行域如下图． ∵z＝2x＋y，y＝－2x＋z表示斜率为－2，在y轴上的截距为z的平行直线系． 由图知当直线过点A时，在y轴上的截距z最大． 当直线过点B时，在y轴上的截距z最小． 由得A(5,2)．由得B(1,1)． 当x＝5，y＝2时，zmax＝12；当x＝1，y＝1时，zmin＝3. 考点．求非线性目标函数的最值 例2实数x，y满足不等式组求z＝的取值范围． 分析：将理解成点(x，y)与点(－1,1)所在直线的斜率，再结合点所在的可行域进行求解． 解析：作出不等式组表示的可行域，如下图中的阴影部分．z＝＝，所以z的几何意义是动点(x，y)与定点A(－1,1)连线的斜率．结合图可知，z的最小值为直线l1的斜率，z的最大值无限接近于直线l2的斜率． l1的斜率k1＝kAB，l2与直线x－y＝0平行． 由得B点坐标(1,0)，k1＝－. z∈. 变式训练1.(1)若x，y满足约束条件则的最大值为________． (2)设x，y满足约束条件则目标函数z＝x2＋y2的取值范围为(　　) A．[2，8] B．[4，13] C．[2，13] D. 解：(1)的几何意义为点(x，y)与坐标原点连线的斜率． 画出可行域，如图中阴影部分所示． 由得C(1，3)， 由题易知可行域上的C点与坐标原点连线的斜率最大，且最大值为3. (2)画出不等式组表示的平面区域，得可行域是三角形围成的区域，如图所示． 解方程组得即A(3，2)， ∵的几何意义是可行域内的点P(x，y)与原点的距离|OP|， 当动点P位于点A时，|OP|最大，最大值为＝， 而原点与可行域内的点的距离的最小值就是原点到直线x＋y＝2的距离，即为＝， ∴目标函数z＝x2＋y2的最小值为2，最大值为13，故选C. 变式2．设x，y满足条件 (1)求u＝x2＋y2的最大值与最小值； (2)求v＝的最大值与最小值． [解]　画出满足条件的可行域如图所示， (1)x2＋y2＝u表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2＋y2的值都相等，由图可知：当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，u最大，过(0,0)时，u最小．又C(3,8)，所以u最大值＝73，u最小值＝0. (2)v＝表示可行域内的点P(x，y)到定点D(5,0)的斜率，由图可知，kBD最大，kCD最小，又C(3,8)，B(3，－3)， 所以v最大值＝＝，v最小值＝＝－4. ．线性规划中的参数问题 例3若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的