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数学思想方法之数形结合学案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2007年11月20日星期二 引言：数形结合思想是一种很重要的数学思想，数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科，才能使人们能够从不同侧面认识事物。 华罗庚先生说过:“数形本是两依倚,焉能分作两边飞. 数缺形时少直观, 形少数时难入微.”.把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把 图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想。数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来。 在使用的过程中，由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化。 考试中心对考试大纲的说明中强调：“在高考中，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法，解答题中对数形结合思想的考查以由‘形’到‘数’的转化为主。” 课题　　　数形结合思想 关键词：抽象　直观　 高考 数形结合 一、从一个典型的例子谈起 【】，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【】和，在同一坐标系中画出它们的图象，易知当时，有. 二、更多的例子 【】和的解分别是和，求的值。 【】和的图象与直线 则分别是函数与的图象与直线的交点A、B的横坐标（如图所示） 又函数互为反函数，其图象关于 直线y=x对称，而直线y=x与直线垂直，故 点A、B关于直线y=x 对称，∴直线y=x与直线 的交点为线段AB的中点M 由 ∴ 【】是定义在上的单调函数，实数， ，若，则（ ）。 （A） （B） （C） （D） 【】的示意图象，由可断定横坐标为的点，至少有一个在横坐标为的点的外部，因而，应选（A）. 【】的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（ ） （A） 【】,则有且,并对所有都成立,因此选(A). 【】则△ABC的周长为( ). （A） （B） （C） （D） 【】到,使,则 , 由正弦定理,即 ,由此,选(C). 【】在内有唯一解，求实数m的取值范围。 【】 设 在同一坐标系中画出它们的图象（如图）。由原方程在（0，3）内有唯一解，知的图象只有一个公共点，可见m的取值范围是或。 【】，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是（ ） (A) ( B) (C) (D) 【】的图像,该图像关于对称, 且,令,若 有7个不同实数解,则方程有2个不同 实数解,且为一正根,一零根.因此, 且,故选(C). 【】是偶函数，且，若在区间 [1, 2]上是减函数，则（　　） Ａ．在区间[-2, -1]上是增函数，在区间 [3, 4] 上是增函数 Ｂ．在区间[-2, -1]上是增函数，在区间 [3, 4] 上是减函数 Ｃ．在区间[-2, -1]上是减函数，在区间 [3, 4] 上是增函数 Ｄ．在区间[-2, -1]上是减函数，在区间 [3, 4] 上是减函数 【】知的图象关于直线对称， 再由和得 所以是以2为周期的周期函数，再由在区间 [1,2] 上是减函数这一条件，就可以画出的示意图，从而选B. 【】 【】的长为，与弦AB所围成的弓形面积的2倍，当的长小于半圆时，函数的值增加的越来越快，当的长大于半圆时，函数的值增加的越来越慢，所以函数的图像是D。 【】a,bR,记max{a,b}=函数f（x）＝max{|x+1|,|x－2|}(xR)的最小值是　　 　。 【】， 故，其图象如右， 则。 点评：数学中考查创新思维，要求必须要有良好的数学素养，考查新定义函数的理解、解绝对值不等式，中档题，借形言数。 【】的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　 ） A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个 解析：函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，函数在开区间内有极小值点【】II）过点（1，）的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝ 。 【】A在圆的内部, 圆心C (2,0)，要使得劣弧