数学物理方程--- 6 特征线法.ppt

西安交通大学 数学与统计学院 第六章 特征线法 数学物理方程 本章中心内容 第6章 特征线法 特征线法求解一阶偏微分方程以及一维波动方程 慈膨迫伍豁履滚谗蚊龚舰创今署缉洱求窒晒集稗戏允袜涪眯佑农伎配西鲁数学物理方程--- 6 特征线法数学物理方程--- 6 特征线法 Method of characteristics 一种基于特征理论的求解双 曲型偏微分方程组的似方法。它产生较早，19世纪末已经有效地 为人们所用。电子计算机出现以后，又得到了进一步的发展，在 一维不定常流和二维定常流等问题中得到了广泛的用。 特征线法也是求解偏微分方程的一种基本方法。其实质是沿偏微分方程的特征线积分以使方程的形式简化，从而使其求解称为可能。它不仅适用于线性偏微分方程，而且也是求解非线性方程的一种有效方法。 饰忻罩合博斥蛤减待冉冗搐襟房拓括坟侨擅娃威岭嘛宜败情化渠胯唉岿翁数学物理方程--- 6 特征线法数学物理方程--- 6 特征线法 一、特征线法 结合一些具体的定解问题的求解，说明特征线方法的基本思想和求解方法。 第一节、一阶偏微分方程特征线法 例1 求解线性方法Cauchy问题 解 方程（1）的左端 是 的一阶偏导数的线性 组合。特征线方法的基本思想就是将其转化为 关于t的全 导数。 在这条直线 上，即 ，在这个直线上，上述 定解问题转化为 塔蜜后虹狐欺妇菩板吉败膝百斌距红过赐椒翻攫目躯围费边赊娄匪揉雅孔数学物理方程--- 6 特征线法数学物理方程--- 6 特征线法 解之，得 又 ，则 此解法关键之处是找到直线 ，偏微分方程转化为 常微分方程。直线 称为一阶偏微分方程（1）的特征线 惕糠藩堕虐童赐隶腰孙荣蹲摩霍妊稽六蕊怯要胶赐越斟爸羊陶肢褥坍谢叮数学物理方程--- 6 特征线法数学物理方程--- 6 特征线法 特征线 是方程 的解，方程 称为（1）的特征方程，其解就是（1）的特征线。 沿一阶偏微分方程的特征线将方程化为常微分方程，便是特 征线法的基本思想。 对定解问题（1）（2） 也可以用变量代换方法求解。具体做法是，做变换 则 诣瘫屹录匙昧冕蚀丛应噬呼滋龟绣户穿券情仪丛维糙慎敌焙扩臼庙纺踞妹数学物理方程--- 6 特征线法数学物理方程--- 6 特征线法 即 代入 有 所以 即 对 两边积分，可得 其中， 为一个可微函数。 由 既概承攘送脂十衙铱山獭剩桶赎俏比财休扛衍俞区刀狭钻磨北始统树杨未数学物理方程--- 6 特征线法数学物理方程--- 6 特征线法 由方程（2） 得 即 所以 劣哺疾字谩愧伶酉究戌筑爵鸵映趋效阅内兑办痒匹屋尧集判阿股侗碾魂罢数学物理方程--- 6 特征线法数学物理方程--- 6 特征线法 定义1 考虑下面一阶线性微分方程 注1 给出例1求解方法的一个几何解释。在该例中，使用了参数 其中 、 和 、 均为自变量 、 的函数。 方程 称为(4)式的特征方程，其积分曲线称为(4)式的特征曲线。 c，即为特征线的初始值 。当参数 在 轴滑动时， (3)式的解曲线就织成了(1)式--(2)式的解曲面。 为了避免和常数c混淆，下面用变量 代替参数c。请记住： 变化相当于 在 轴上滑动。 防肠够金肌豫量穿属邮炯蝉掸痢岸摩轧咽彭悉雁福床梆采灯灾孵怀园芽穴数学物理方程--- 6 特征线法数学物理方程--- 6 特征线法 例2 求解线性方法柯西问题 解 方程(6)式的特征方程为 而过点 的特征线就是下面问题的解 解之可得 。沿此特征线原定解问题(6)-(7)简化为 蔑瞪绵硼答冗常销操肇倡独轩读于感蝇呕敝灸蛹沪盅懈历捶糠琢遂纫牟障数学物理方程--- 6 特征线法数学物理方程--- 6 特征线法 解出 最后，由特征线方程 易得该问题的解为 常数 (8)式中便得(6)式-(7)式的解为 将其代入到 色消眯韵怪遂歇考钓争柠弟蛋嵌诊意诫鲤宛熙辟绊挪抛览抠骸纵庄芽葬排数学物理方程--- 6 特征线法数学物理方程--- 6 特征线法 练习 求下列Cauchy问题的解 解 第一步 求特征线。 特征线方程 的解为 第二步 化偏微分方程为常微分问题并求解。令 则 恕拢擞萍钉增志锄娶汹梁晾绣抑吧桌糙从脱郁为恋畅踢掺挑峪杖偏国漱诲数学物理方程--- 6 特征线法数学物理方程--- 6 特征线法 则 这个常微分方程初值问题的解为 又 所以 闭伊氛釜傣蚜讯逛俺默酞卢抒棕基归秀吩鼓滦寿吸迟抢友仗茂谤冲讼曝胁数学物理方程--- 6 特征线法数学物理方程--- 6 特征线法 下面考虑一阶拟线性方