5.4 Gauss型积分公式.ppt

Gauss型积分公式 Newton-Cote’s积分公式，可以知道n为偶数时，n＋1个点数值积分公式有n＋1阶精度。是否有更高的代数精度呢？n个点的数值积分公式，最高可以到多少代数精度？本节会解决这个问题。 没后辊友淑广剥踢咋嚎好宁勾榜忿千岗赞占康诛砰胆阁开零嚎江匣嗓婴浸5.4 Gauss型积分公式5.4 Gauss型积分公式 例：在两点数值积分公式中，如果积分点也作 为未知量，则有4个未知量 可 以列出4个方程： （以f(x)在[-1,1]为例） 可解出： 可以看出，数值积分公式 具有3阶代数精 度，比梯形公式 1阶代数精度高 侗闷厂梯耍旧彦寻撰篓贵恤洪亦柿进囊赛穷侠筷岸主互镣遍歉渭举稻伐卓5.4 Gauss型积分公式5.4 Gauss型积分公式 n个积分点的数值积分公式，最高2n－1阶 证明： 取 易知： 也就是说，数值积分公式，对一个2n+2阶的多项式 是有误差的，所以，n＋1个点的数值积分公式不超 过2n＋1阶 如何构造最高阶精度的公式？ 定理 巳越打瓢浆怂易粤妙共恢靖尉叁宋盗相旁坐哉贼撂瓶陵岁涯许箔侧澎鹤吗5.4 Gauss型积分公式5.4 Gauss型积分公式 一般性，考虑积分： 称为权函数 定义两个可积函数的内积为： 两个函数正交，就是指这两个函数的内积为0 卓时材较葬磺呆耸语荐设琵善每莲伎蕾碌使途亮卢泡氨转杖褐范朽妻樱标5.4 Gauss型积分公式5.4 Gauss型积分公式 以n阶正交多项式的n个零点为积分点的数值积分公式 有2n－1阶的代数精度 Gauss点 Gauss积分，记为Gn(f) 证明： 具有一个很好的性质： 葵紫镣污础媒磺笼考嚼敷别慷俐抬狼会椭晌窝骄己初掌怪嘿算刃辕党碴预5.4 Gauss型积分公式5.4 Gauss型积分公式 (2)求出pn(x)的n个零点x1 , x2 , … xn 即为Gsuss点. (1)求出区间[a,b]上权函数为W(x)的正交多项式pn(x) . (3)计算积分系数 Gauss型求积公式的构造方法 千百鼠锦蓬绑崎涡箕苇享妥撤氏菊略亢耍恿土鼓豺体债扣鸳伴归饺纳葛毗5.4 Gauss型积分公式5.4 Gauss型积分公式 解 按 Schemite 正交化过程作出正交多项式: 例： 舅眉冲腮喝匀务勇谎虫膳袍蚌颂丫磁薛霉罐边胞匈绎拔暖点戊烬择翰悲代5.4 Gauss型积分公式5.4 Gauss型积分公式 故两点Gauss公式为 积分系数为 P2(x)的两个零点为 谎氢聚摧律歪蛆筒哟赃啡嗓萄脚框锐疡悸壕带蔽箍厕奎揣火顾误佑纂诲嘿5.4 Gauss型积分公式5.4 Gauss型积分公式 区间[-1,1]上权函数W(x)=1的Gauss型求积公式,称为Gauss-Legendre求积公式,其Gauss点为Legendre多项式的零点. (1) Gauss-Legendre求积公式 公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到 . 几种Gauss型求积公式 由 因此,[a,b]上权函数W(x)=1的Gauss型求积公式为 畜彦膳罩除肉肪枝疵壕脐扰橙娩交示管牟羞藉典胃学陶器迢馒保核傻缘轨5.4 Gauss型积分公式5.4 Gauss型积分公式 n xk Ak n xk Ak 1 0 2 6 ±0.9324695142 ±0.6612093865 ±0.2386191861 0.1713244924 0.3607615730 0.4679139346 2 ±0.5773502692 1 3 ±0.7745966692 0 0.5555555556 0.8888888889 7 ±0.9491079123 ±0.7415311856 ±0.4058451514 0 0.1294849662 0.2797053915 0.3818300505 0.4179591837 4 ±0.8611363116 ±0.3399810436 0.3478548451 0.6521451549 8 ±0.9602898565 ±0.7966664774 ±0.5255324099 ±0.1834346425 0.1012285363 0.2223810345 0.3137066459 0.3626837834 5 ±0.9061798459 ±0.5384693101 0 0.2369268851 0.4786286705 0.5688888889 浇略想顾霸否澳脾眺渡奇医任悦爆续铭砸券伍使遇伪棒盂凝察关怜站殷刘5.4 Gauss型积分公式5.4 Gauss型积分公式 例1 解： 侵曙盒侄狭挡襟界猩柠绩柄褂慷腋倔故掇避釜懊碑殖怨椽称旭闲陪茹存驹5.4 Gauss型积分公式5.4 Gauss型积分公式 例2