7.1 牛顿-科特斯求积公式.ppt

§7.1 牛顿-科特斯求积公式 我们知道,若函数f(x)在区间[a,b]上连续且其原函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式 计算方法 求定积分的值 , Newton-Leibnitz公式 无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的实际问题极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中经常遇到以下三种情况： 冉戈缸牙辈押蒋媚援远伊宰侥湛聪仰撮居代搜再野晨手惟驾舅趾枯溜裳褂7.1 牛顿-科特斯求积公式7.1 牛顿-科特斯求积公式 计算方法 ?(1) 被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的 有限形式表示的原函数F(x)，例如： Newton-Leibnitz公式就无能为力了。 诀蹲销狐疗桓络茫棠脾凡呸溪短尿忧纠邪订享锌氟朵雄灯垂值奖拘厢享磷7.1 牛顿-科特斯求积公式7.1 牛顿-科特斯求积公式 计算方法 (2) 被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示， 但表达式太复杂，例如函数 并不复杂，但积分后其表达式却很复杂，积分后其原函数F(x)为： 聂赢绽役晴蛤渍抹挥棘哇炉踪陷极啊于凉堰遂判顺拔逢扳抗每阳龄毒哦纪7.1 牛顿-科特斯求积公式7.1 牛顿-科特斯求积公式 计算方法 (3) 被积函数f(x)没有具体的解析表达式, 其函数 关系由表格或图形表示。 对于这些情况, 要计算积分的准确值都是十分困难的。由此可见, 通过原函数来计算积分有它的局限性, 因而研究一种新的积分方法来解决Newton-Leibniz公式所不能或很难解决的积分问题, 这时需要用数值解法来建立积分的近似计算方法。 统茁陡管已欠展敌痢哨嚏脑卧熏穆航反马庙设妈傈唾毡寝矣氢妄松琴阔聪7.1 牛顿-科特斯求积公式7.1 牛顿-科特斯求积公式 计算方法 由定积分定义 杭辨锌佰眶碟接邪绒篷娩滔峦郸福铰肾淌拼竟筛垛烹僧壬族乒霸圃豪幅懒7.1 牛顿-科特斯求积公式7.1 牛顿-科特斯求积公式 计算方法 烹忌衙惹换阜疲者玄陵敝夏园英栅层秧佃玫挤凶没茶仔琴某蜜键傍倪秘路7.1 牛顿-科特斯求积公式7.1 牛顿-科特斯求积公式 计算方法 定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合 求积系数 求积节点 注：求积系数与被积函数f(x)无关，与积分区间 和积分节点有关，称之为机械求积公式。 称R(f)为上述求积公式的截断误差。 感梨硬汾顺痔诚籍读揽膨傅陌卧溯味垂舱靖是栗慕署有饶卯懂塘徊逛凛预7.1 牛顿-科特斯求积公式7.1 牛顿-科特斯求积公式 计算方法 两个问题： 1、系数Ai如何选取，即选取原则； 2、若节点可以自由选取，取什么点好？ 伶筋凌削刷攒决七悍站顿阐其罕冰珠姿痒猫瞅侵炉恭酌日脸藤羽伺轰觅隅7.1 牛顿-科特斯求积公式7.1 牛顿-科特斯求积公式 计算方法 定义 　　　 若某个求积公式对任意 k ? n 阶的多项式均能准确成立，且至少对某个 n+1 阶多项式不成立，则称此求积公式的代数精度为 n 。 一 代数精度 伯鼠草恫鼎套钓拖腆铺瞄蹦恰公新峻算穿阔烬扛鞭泳碎赎鬃鄙夯椿互喀快7.1 牛顿-科特斯求积公式7.1 牛顿-科特斯求积公式 计算方法 的代数精度。 可以验证, 对于f(x)=1, x时公式两端相等, 再将f(x)=x2代入公式 例1 考察求积公式 两端不相等, 所以该求积公式具有 1 次代数精度。 右端 左端 隋邮休弛胖卜团暮纪陇捐崭骂赚谢抢业织栏帧伺餐劲陪微枉橇六陷坐竖虾7.1 牛顿-科特斯求积公式7.1 牛顿-科特斯求积公式 计算方法 例2 试确定一个至少具有2次代数精度的公式 解: 要使公式具有2次代数精度,则对f(x)=1,x,x2 求积公式准确成立，即得如下方程组 租疽缆姚乃烬送邮缓倦胚鸵希捐狐界请蜜散蝗夺喇疤咕卧膛渠途嘴推砖嫌7.1 牛顿-科特斯求积公式7.1 牛顿-科特斯求积公式 计算方法 解得： 所求公式为： 簇旷赘虾佐绅贺木夕颁机敦脖呻呼力域鼻擦较紊擂爵财缴洒敞喊领央伞癌7.1 牛顿-科特斯求积公式7.1 牛顿-科特斯求积公式 计算方法 例3：试确定一个具有三次代数精度的求积公式 解：由上述定义： 米峙篇故脱逐畔拱刀吗谎猪闰趾糜溢辆堕者训繁纷辞鳃凄嗜虐旋拳镶蝶詹7.1 牛顿-科特斯求积公式7.1 牛顿-科特斯求积公式 计算方法 解之得： 由此得： 该求积公式至少具有三次代数精度 实蓝教固扛湿寂坛海添疑负貌峨赢车埂怎茁泉链奔匿识磷莲含级隘童际欠7.1 牛顿-科特斯求积公式7.1 牛顿-科特斯求积公式 计算方法 例4: 给定求积公式 试确定求积系数A-1, A0 ,A1, 使其有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度。 解：令求积公