4。4高斯型求积公式.ppt

华长生制作 华长生制作 它有3次代数精度，而以两个端点为节点的梯形公式只有 1次代数精度。 由插值余项 知插值型求积公式的代数精度不可能低于n，另一方 面，若取 则有截断误差 说明插值型求积公式的代数精度不可能达到2n+2,高 斯型求积公式是具有最高阶代数精度的求积公式。 定理2 高斯型求积公式总是稳定的。 证明 只需证明高斯系数全为正即可。由 于插值公式对次数不超过2n+1的多项式精 确成立，若取 是n次拉格 朗日插值基函数，有 即高斯系数全为正，从而算法是稳定的。 定理3 设 ,则高斯型求积公式是 收敛的。 定理4 设 ，则高斯型求积公 式的截断误差为 3.高斯-拉盖尔求积公式 将插值型求积公式中的区间[a,b]换成区 间[0， ]，权函数取为 ，取节点 为n+1次拉盖尔多项式 的零点，称这样的高斯型求积公式为高斯-拉盖尔 求积公式，其表示式为 其中 截断误差为 4. 高斯-埃尔米特求积公式 高斯-埃尔米特求积公式是全无穷区间上的高 斯型求积公式 其中节点 为 上带权 正交的n+1次埃尔米特多项式 的零点， 系数 截断误差 * 4.4 高斯型求积公式 烈愧缅厂篆崩略仆周榷采雇并钾纪封穴江冬四涌究检榜乎赔哨痢基痔佬涡4。4高斯型求积公式4。4高斯型求积公式 在Newton-Cotes求积公式中,节点是等距的,从而限制了求积公式的代数精度.下面的讨论将取消这个限制条件,使求积公式的代数精度尽可能高.首先以简单情形论证这样做是可行的,然后给出概念和一般理论。 至媚干拣斩炬缠豆资记晕撤衫业兜帜岂军架娠倾推恒章镶满仿峭汗误签隋4。4高斯型求积公式4。4高斯型求积公式 例 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高。 解 按代数精度的概念，分别令 时 上式左边与右边分别相等，有 由第二式和第四式可得 ，结合第一式和第三式得 取 得 于是得到求积公式 糊烦撇彰形械袜左啃镣微反霍衰娱盒保岛溺腺为碘琶唾活猫蚀址淆脏敏盲4。4高斯型求积公式4。4高斯型求积公式 一般地，考虑带权求积公式 其中 为2n+2个待定参数，适当选择这些参 数，有可能使求积公式具有2n+1次代数精度。 妇枫陪枯田剔酉述丢桅徊翌蝉迷勋瘩泉玫叮仓琉卷每炯肌呐瓷亭履受格匈4。4高斯型求积公式4。4高斯型求积公式 定义 如果上述求积公式具有2n+1次代数精度，则称该公式高斯型求积公式，称 　其节点为高斯点，系数 称为高斯系数。  如果象前面例子那样，直接利用代数精度的概念去求n+1个Gauss点和n+1个求积系数，则要联立2n+2个非线性方程组。方程组是可解的，但当n稍大时，解析的求解就很难，数值求解非线性方程组也不容易。所以下面从分析Gauss点的特性着手研究Gauss公式的构造问题 。 恬标笆同贝仁肖藉懦诡卿统臼坞救阶辫驰恢候浩仅薪干兵常叁啊达磷塌污4。4高斯型求积公式4。4高斯型求积公式 谣捆浙咙月撇绢骏估蜕娇芝惟奶滇方慑茶赢美墨春另苫履玖缚挥趁拣伏逊4。4高斯型求积公式4。4高斯型求积公式 定理 1 对于插值求值公式 其节点 是Gauss点的充分必要条件是多项式 　　 与任意不超过n次多项式 P(x)带权正交,即 　　 陡戚污定亚斩羔萨露拌金淳乱视演狄或潮糊念购碾喀记湍葵支涌斗犯众钩4。4高斯型求积公式4。4高斯型求积公式 证. 先证必要性.设P(x)是任意次数不超过n的多项式,则 的次数不超过 2n+1。因此,如果 是Gauss点，则求积公