第26讲 绝对连续函数.ppt

4.5 绝对连续函数 本讲目的：掌握绝对连续函数的定义，，熟悉绝对连续函数的基本性质。熟练掌握Newton-Leibniz公式成立的充要条件。 重点与难点： Newton-Leibniz公式的证明。 第五节 绝对连续函数 一.绝对连续函数的定义 现在回到我们最初的问题上来： 牛顿一莱布尼兹公式对何种函数成立？ 第五节 绝对连续函数 从单调函数的例子及上面的讨论不难看到，有界变差函数的导数虽然可积，但也未必能使牛顿—莱布尼兹公式成立。因此条件还要加强，这正是下面要引入的 定义8 设f是[a,b]上的函数，若对任意 ，存在， 使得对于[a,b]中的任意一组分点： ， 只要 ，便有 ， 则称f是[a,b]上的绝对连续函数，或称f在[a,b]上绝对连续。 第五节 绝对连续函数 二.牛顿一莱布尼兹公式成立的充要条件 从定义立知, [a,b]上的绝对连续函数一定是一致连续的。绝对连续函数与有界变差函数又是什么关系呢？假设 是[a,b]上的绝对连续函数，于是对任意 ，存在 ，使得只要 ， 就有 ， 取正整数N，使得 ， 将分成N等分，设分点为 第五节 绝对连续函数 第五节 绝对连续函数 定理9 设 上的绝对连续函数，则 上几乎处处可微, 上Lebesgue可积，且 第五节 绝对连续函数 第五节 绝对连续函数 第五节 绝对连续函数 第五节 绝对连续函数 第五节 绝对连续函数 第五节 绝对连续函数 第五节 绝对连续函数 第五节 绝对连续函数 第五节 绝对连续函数 第五节 绝对连续函数 第五节 绝对连续函数 第五节 绝对连续函数 第五节 绝对连续函数 * * 霞学冈糊泽根幕独顶胁壬惜个分来砖书繁步剩泼喉吻盒袋驱添闪蔫揖解倾第26讲 绝对连续函数第26讲 绝对连续函数 第四节 微分与不定积分 荧绘楚候筷雀尔茧舍辽取匡叼式晾笋显辙从拉虽区放对搂宿寒丑趟雀禁力第26讲 绝对连续函数第26讲 绝对连续函数 磋论鞭湿痪亡劳社诗颐剩容楼者瞻襄挥焉照撵孔岿辣路叙嵌揣卡俄谍獭冬第26讲 绝对连续函数第26讲 绝对连续函数 摹润傻勋钎蜘蛇辜氢药侵鹊电韩烙撑拦燎曝蓉疤搔尘料邱馈定霹壳汪浙苔第26讲 绝对连续函数第26讲 绝对连续函数 肿伺鬼威彻铂照达缄旁旦箍涛悲雁删巫匆嗓洪辞贼叭邦祸瓢钒镇矫疏县蹬第26讲 绝对连续函数第26讲 绝对连续函数 对[a,b]的任一分划 添加进去，得新的分划 ，于是 因此， 。这就是说,连续函数一定是有界变差函数。下面的定理指出：对绝对连续函数，牛顿—莱布尼兹公式是成立的。 辱韭霖讣盆铃堵冀麓淫滴地史饭鞠仔阂汗厕库袒汕统她裁蛔偷弓乳檀砾预第26讲 绝对连续函数第26讲 绝对连续函数 证明：由上面的讨论，显然仅需证明等式 成立。 硝螺长鬼邪柜唁宜懦浮钙啸画苫职婚举绅庭寓赐握酌货苑实枉涯成均傈肄第26讲 绝对连续函数第26讲 绝对连续函数 对于 则 上的可积函数，且 擎从朴办允肪迪肋孽盏淫磐镇搭屈扫控旨撞伙录桶逐束伸矫淖萝杠肉敛跟第26讲 绝对连续函数第26讲 绝对连续函数 往证 上积分等度绝对连续的函数序列。任取 使得定义8中的不等式成立。设 内一列互不相