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Chapter 13 柱坐标下的分离变量法 Bessel函数 Abstracts: 以3+1D实例通过柱坐标系下方程的变量分离与求解 引入各种柱函数（Bessel函数、虚宗量Bessel函数 和球Bessel函数等）。在分析这些函数性质的基础上， 表述相应定解问题的物理解。 一、柱坐标下的变量分离 1. 柱坐标系下的稳定问题（Laplace方程） （1） 即： （2） 令，代入（2）得： （3） 得： （4） 分离变量得： （5）与周期性边界条件 构成本征值问题。解得： （6）即为 得： 这两个方程，先求解哪一个以及(如何取值，取决于哪一个可构成本征值问题，也就是取决于定解问题的边界条件。如果构成本征值问题，则 式中(的取值范围不同，方程解的形式与性质不同。 即为Euler eq. （7） 记：则： 代入（7）得 即为m阶Bessel eq. 令，代入得 （8） 记，代入（8）得： 即为虚宗量Bessel eq. （9） 令：代入（9）得 即为Bessel eq. 2. 柱坐标系下的非稳定问题（振动、输运方程） 令，代入上式得： 分离变量得： 和 此为Helmholtz方程，即： 令，代入上式得： 同样要求对的符号加以讨论（下面的第二节为正，第三节为负—源于的本征值问题）。 二、Bessel函数 [(圆)柱函数] 1. Bessel函数 设则一般地（(可以不为整数） ， 其中：， ， ( 阶（第一类）Bessel函数; (阶（第二类）Bessel函数. 当是实数时，和都是实函数，现在再引入两个复函数。 ,第一种Hankel函数; ,第二种Hankel函数, 它们统称为(阶（第三类）Bessel函数，于是Bessel eq. 的解可以是以上四种函数中任何两个的线性组合。 类似于都是方程的特解，其通解可以用以上四个函数中任何两个线性组合表示。 2. 各种柱函数的递推公式与渐近性质 （1）递推公式 代表. 证明：例如，， 即： 同理又有：. 特例：, . （2）渐近性质 (A). 很小时， (上述特例积分时用过此). . 可见并非之零点，而是之阶零点。 . (B). 很大时 [衰减式震荡函数，证明见教材§13.5] 3. Bessel函数的基本性质（这里仅仅讨论整数阶Bessel函数） （1）生成函数（母函数） 特别地，令，有 证明：则： （1’）平面波按柱面波的展开 （2）加法公式 证明：又 令，则： 所以 （3）积分公式 由得 其中倒数第二等式的推导用了展开中的 （4）的零点[方程的根] (A). 的零点有无限多个，且的零点都是一级零点: . 为（）的级零点: . (B). 的零点必正负成对：这是因为具有奇（偶）对称性，即 ，因此可以只讨论正零点。 (C). 阶数相差为1[与或]时，正零点必两两相间。 证明思路：设为的相邻零点，作辅助函数，根据微分中值定理, 当时, 必有使得 再由递推公式可以知道，的零点之间有的零点。 (D). 的最小正零点必大于的最小正零点。 证明思路：已知为的级零点。设为的最小正零点，作辅助函数由必有而取在再由可知,必为的零点。 注：的零点的具体数值可以从专门的Bessel函数表查到，故当需要的零点时，可以当作已知，且记的正零点即的根为 ，i.e，导数为零的点，均为之一阶零点。 （5）的图像（衰减式震荡函数） 4. 本征值问题 （1）方程 Laplace方程经变量分离后，其柱径向函数满足 其标准形式为 其中是已知常数（由的本征值问题确定）即参数待定（见下节）。此方程是下列Sturm-Liouville方程的特例 其中 （2）边界条件 设的变化区间是（即半径为的圆柱体内），上面的方程如果要构成本征值问题，则需附加边界条件 ； 齐次边界条件：或或 （3）解方程 设记，代入上式得： 这是阶Bessel方程，其解为： 或者 ， 对于第一类边界条件，的正零点记为，则：即为本征值，为本征函数，为量子数。特别地，当时，，矛盾于本征值，所以 对于第二类边界条件，的正零点记为，则： ，， 特别地，当时，也是它的本征值，相应的本征函数为 对于第三类边界条件，可以进行相似的讨论（思考题）。 （4）正交性 注意：当时，也是它的本征值。 （5）模方 其中第三步用到了分部积分。由于 所以 如果，则