13.1一致收敛性.ppt

第十三章 函数列与函数项级数 问题的提出 （一）函数项级数的一般概念 2.函数项级数的一致收敛性 五、小结 * 13.1 一致收敛性 一 点态收敛 二 函数项级数（或函数序列）的基本问题 三 函数项级数（或函数列）的一致收敛性 四 一致收敛性判别 五 小结 问题: 1.定义: 一 点态收敛 现在我们将级数的概念从数推广到函数上去. 2.收敛点与收敛域: 函数项级数的部分和 余项 (x在收敛域上) 注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题. 3.和函数: (定义域是?) 解 由达朗贝尔判别法 原级数绝对收敛. 原级数发散. 收敛; 发散; 4.函数项级数与其部分和 在本质上是完全一致的。 二 函数项级数（或函数序列）的基本问题 1.极限运算与无限求和运算交换次序问题 2.求导运算与无限求和运算交换次序问题 3.极限运算与无限求和运算交换次序问题 1.函数列及其一致收敛性 三 函数项级数（或函数列）的一致收敛性 定义 x y o 几何解释: 例2 解 余项的绝对值 例3 研究级数 在区间( 0 , 1]内的一致收敛性. 解 对于任意一个自然数 因此级数在( 0, 1 )内不一致连续． 说明: 从下图可以看出: 但 虽然函数序列 在( 0, 1 )内处处 在( 0, 1 )内各点处收 收敛于 敛于零的“快慢”程度是不一致的． (1,1) 1 小结　一致收敛性与所讨论的区间有关． 三一致收敛性判别 定理13-1（函数列一致收敛的柯西准则） 2.一致收敛的柯西准则 1．用定义 由上确界的定义，亦有 定理13-3（函数项级数一致收敛的柯西准则） 定理13.5（Weierstrass判别法） 4.一致收敛性简便的判别法： *