17.1可微性.ppt

第十七章 多元函数微分学 一、全微分的定义 二、偏导数的定义及其计算法 三、可微的条件 曲面的切平面与法线 全微分在近似计算中的应用 五、小结 （依偏导数的连续性） 同理 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分 之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理． 解 (2, 1) 处的全微分 它们均连续。因此，函数可微分。 解 解 所求全微分 证 （1） 令 多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微分 函数连续 偏导数连续 偏导数存在 四 可微性的几何意义与应用 切平面的定义 一元函数可微性，在几何上反映为曲线存在不平性于Y轴的切线，二元函数可微性的几何意义则反映的是曲面与其切平面的类似关系. ??????????????????????????????? ??????????????????????????????? 定义（切平面）设P是曲面S上一点，H为通过? P 的一个平面，曲面S上的动点Q到P 和到平面H 的距离分别为 d 和h，当Q在S上以任何方式趋于P时，恒有 ????????，则称平面 H 为曲面S在点P处的切平面，P为切点. 1 设曲面方程为 曲线在M处的切向量 在曲面上任取一条通过点M的曲线 令 则 切平面方程为 法线方程为 曲面在M处的法向量即 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 2 空间曲面方程形为 曲面在M处的切平面方程为 曲面在M处的法线方程为 令 切平面上点的竖坐标的增量 因为曲面在M处的切平面方程为 其中 解 切平面方程为 法线方程为 解 令 切平面方程 法线方程 解 设 为曲面上的切点, 切平面方程为 依题意，切平面方程平行于已知平面，得 因为 是曲面上的切点， 所求切点为 满足方程 切平面方程 也可写成 * * * §1 可微性 §2 复合函数微分法 §3 方向导数与梯度 §4 泰勒公式与极值问题 §1 可微性 一、全微分的定义 二、偏导数的定义及其计算法 三、可微的条件 四 可微性的几何意义与应用 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 全增量的概念 全微分的定义 事实上 函数对 x 的偏增量 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的 微分法问题。 只要把 x 之外的其他自变量暂时看成 常量，对 x 求导数即可。 只要把 y 之外的其他自变量暂时看成 常量，对 y 求导数即可。 其它情况类似。 解 把 y 看成常量 把 x 看成常量 解 把 y 看成常量 把 x 看成常量 证 原结论成立． 解 不存在． 证 有关偏导数的几点说明： １、 ２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求； 解 于是， 考虑点 (0, 0) 对 x 的偏导数， 于是， 考虑点 (0, 0) 对 x 的偏导数， 解 y、z 看成常量 x、y 看成常量 ３、偏导数存在与连续的关系 但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续. 一元函数中在某点可导 多元函数中在某点偏导数存在 连续。 连续。 4、偏导数的几何意义 如图 几何意义: 证 总成立, 同理可得 一元函数在某点的导数存在 多元函数的各偏导数存在 例如， 微分存在． 全微分存在． 则 说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微 分存在。 证