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2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目.doc
2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
(A题、B题)
A题、B题任选一题。
答卷用白色A4纸,第一页为空白页(用于赛区或全国组委会对论文进行编号)。
论文题目和摘要写在第二页上,从第三页开始是论文正文。
论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。
提请大家注意:从去年起,提高了摘要在整篇论文评阅中所占的权重。
全部题目可以从以下网址之一下载:
A题 车灯线光源的优化设计
安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面,车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米,深度21.6毫米。经过车灯的焦点,在与对称轴相垂直的水平方向,对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。
该设计规范在简化后可描述如下。在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏,屏与FA垂直,用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线,在该直线A点的同侧取B点和C点,使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不小于某一额定值(可取为1个单位),B点的光强度不小于该额定值的两倍(只须考虑一次反射)。
请解决下列问题:
(1)在满足该设计规范的条件下,计算线光源长度,使线光源的功率最小。
(2)对得到的线光源长度,在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。
(3)讨论该设计规范的合理性。
B题 彩票中的数学
近年来“彩票飓风”席卷中华大地,巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列,目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。
“传统型”采用“10选6+1”方案:先从6组0~9号球中摇出6个基本号码,每组摇出一个,然后从0~4号球中摇出一个特别号码,构成中奖号码。投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码(可重复),从0~4中选一个特别号码,构成一注,根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级,如表一(X表示未选中的号码)。
表一
中 奖
等 级 10 选 6+1(6+1/10) 基 本 号 码 特别号码 说 明 一等奖 abcdef g 选7中(6+1) 二等奖 abcdef 选7中(6) 三等奖 abcdeX Xbcdef 选7中(5) 四等奖 abcdXX XbcdeX XXcdef 选7中(4) 五等奖 abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef 选7中(3) 六等奖 abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef 选7中(2)
“乐透型”有多种不同的形式,比如“33选7”的方案:先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号,再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01~33个号码中任选7个组成一注(不可重复),根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级,不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案,先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号,再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01~36个号码中任选7个组成一注(不可重复),根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级,不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表二。
表二
中 奖
等 级 33 选 7(7/33) 36 选 6+1(6+1/36) 基 本 号 码 特别号码 说 明 基 本 号 码 特别号码 说 明 一等奖 ●●●●●●● 选7中(7) ●●●●●● ★ 选7中(6+1) 二等奖 ●●●●●●○ ★ 选7中(6+1) ●●●●●● 选7中(6) 三等奖 ●●●●●●○ 选7中(6) ●●●●●○ ★ 选7中(5+1) 四等奖 ●●●●●○○ ★ 选7中(5+1) ●●●●●○ 选7中(5) 五等奖 ●●●●●○○ 选7中(5) ●●●●○○ ★ 选7中(4+1) 六等奖 ●●●●○○○ ★ 选7中(4+1) ●●●●○○ 选7中(4) 七等奖 ●●●●○○○ 选7中(4) ●●●○○○ ★ 选7中(3+1) 注:●为选中的基本号码;★ 为选中的特别号码;○ 为未选中的号码。
以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的5
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