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不等式的解法 【教学内容】不等式的解法 【课 型】复习习题课 【教学目标】（1）会解整式不等式、分式不等式、绝对值不等式 （2）能从指数、对数的单调性的深化的角度求解指数对数不等式。 【重点难点】 重点：指数、对数不等式的解法 难点：含参数不等式中参数的讨论 【教学方法】讲解启发 【教学过程】 一、基本知识 （引导学生自己回忆说出来） 1、不等式同解原理、一元二次不等式的解法、绝对值不等式的解法 aba+cb+c；c0时，abacc；c0 时abacbc 设a0，方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 (x1 x2)，则 不等式ax2+bx+c0的解集为{x| xx1, 或x x2} 不等式ax2+bx+c0的解集为{x| x2 xx1} 设a0，则不等式｜x|a的解集为｛x|xa,或x-a｝； 不等式｜x|a的解集为｛x| -a xa｝ 要注意这些基本知识的应用条件，若条件不满足，它就是一个分类的标准。 2、指数函数、对数函数的单调性 函数y=ax, 当a1时为增函数，当0a1时为减函数； 函数y=logax, 当a1时为增函数，当0a1时为减函数. 解指数、对数不等式时往往要根据它们的单调性把指数、对数不等式转化为整式不等式，要注意到定义域和底；在解含参数的不等式的时候，底a也是一个最重要的分类标准。 3、分式不等式高次不等式——数轴标根法 注意变量前面的系数为正，将各因子的根在数轴上排序，从右上方画起。 二、典型例题 例1 （1）关于x的不等式axb的解集为一切实数，则ab2＝ 分析：关键是对不等式axb的解集为一切实数的理解，要满足条件，则必有a=0, b0, 从而ab2=0。 （2）已知不等式ax2+bx+c0的解集为｛x|x｝, 其中0，则不等式cx2+bx+a0的解集为 分析：要确定cx2+bx+a0的解集，则必须知道c的符号，及方程cx2+bx+a=0的根，还要注意比较两根的大小。 事实上，由形式可知，a0，又=，故c0。将方程两边同除以x2得，，则=或，从而两个根为和，故解集为： 说明：以上是处理倒数方程的常见手法。 （3）已知关于x的不等式x2-x+a0的解集为一切实数，则函数y=ax在 分析：由题意知：△=1-4a0(a, 从而所求的值域为：[-a, a] 注意：第一句话仅仅是为了确定a的符号，不应该把a的范围代入。 （4）不等式的解集为 分析：分式不等式和高次不等式一般用序轴标根法求解 “系数为正、右上下笔、奇穿偶回”。答案： 例2解不等式：（1） （2）|x-5|-|2x+3|1 分析：（1）要结合函数的单调性，注意函数的定义域；（2）最需解决的问题是如何去掉绝对值符号，以零点分类讨论。 解：（1）原不等式等价于(原不等式的解集为： （2）原不等式等价于： 或或 从而得原不等式的解集为： 例3对任意实数x，不等式|x+1|+|x-2|a恒成立，求实数a的取值范围。 分析：经过分析转化，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a应比最小值小。 解： 由绝对值不等式：|x+1|+|x-2||(x+1)-(x-2)|=3，当且仅当(x+1)(x-2)0, 即 时取等号。故a3 说明：转化思想在解中有很重要的作用，比如：恒成立问题、定义域为R等问题都可转化为求最大、最小值问题。（在这些问题里我们要给自己提问题，怎样把一般性的问题转化到某个特殊的值的问题，常问的问题是：要使……，只要……） 例4解关于x的不等式 分析：若将原不等式移项、通分整理可得： 显然，现在有两个问题：（1）a-1的符号怎样？（2）与2的大小关系怎样？这也就是本题的分类标准所在。 解： 原不等式与不等式同解。 当a-10，即a1时，原不等式与不等式同解，此时因为2, 所以原不等式的解集为 当a=1时，即x-20，其解集为 当a1时，原不等式与不等式同解（1）2, 即0a1时，原不等式的解集为（2）当a=0时，解集为（3）当a0时，原不等式的解集为 说明：（1）解题时标准要明确，书写条理要清晰。 （2）常见的分类标准：、0、1、根 例5若关于x的方程x2-x-(m+1)=0在[-1，1]上有解，求m的取值范围。 分析：这是一个根的分部的问题，要求方程在[-1，1]上有解，这要注意：有几解？ 解：设f(x)= x2-x-(m+1) 1. 若原方程在(-1,1)上有两解，则 ( 2、若原方程在(-1,1)上有一解，则 f(1)f(-1)0, 即： (-m-1)(1-m)0(-1m1 3、