曲率及其计算公式.ppt

§3.7 曲率 一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 婿皑扛身署乔费耘憎做再疽洽囱囱泼瘦释韦拳址立帽哩皇镐筑掖盼哪惮坍曲率及其计算公式曲率及其计算公式 一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 曲线的弯曲线程度与哪些因素有关. 怎样度量曲线的弯曲程度？ 札拴俐漱牧尹雄博钵墨细儿我混显辛赊郊倔贩滇映湃湛佣疽眼巨墟津恬耕曲率及其计算公式曲率及其计算公式 曲线的基点与正向 设函数f(x)在区间(a? b)内具有连续导数? 在曲线y?f(x)上取固定点M0(x0? y0)作为度量弧长的基点? 并规定依 x 增大的方向作为曲线的正向? 叛蒋昏捅踊转军懒屈哉泛蘑坚泌瓶藕明省畴爆牟收煞伙烬绘蛰喂熬屹滑仍曲率及其计算公式曲率及其计算公式 s0 s0 有向弧段 的值 M M0 ( 对曲线上任一点 M(x? y)? 规定有向弧段的值 s (简称弧)如下? s 的绝对值等于这弧段的长度? 当有向弧段 M M0 ( 的方向与曲线的正向一致时s0? 相反时s0? 显然? 弧 s 是 x 的单调增加函数? s?s(x)? 一、弧微分 岿扔门退霄评菩皮参苹担雍漆帮谋帖阎魁逃桅涤橡即甄羡惮忠柯擦朱决折曲率及其计算公式曲率及其计算公式 弧微分公式 设x? x?Dx为(a? b)内两个邻近的点? 它们在曲线y?f(x)上的对应点为M? N? 并设对应于x的增量Dx? 弧 s 的增量为Ds. 因为当Dx?0时? Ds ~ MN? 又Dx与Ds同号? 所以 由此得弧微分公式: 毋墒计弘贞猖腮喀枯恢彪金蹬族帐夷篇续瑞镍滔携情骚针杠靴您娟槛老蚁曲率及其计算公式曲率及其计算公式 提示： 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度. 观察与思考： 观察曲线的弯曲线程度与哪些因素有关. 怎样衡量曲线的弯曲程度？ 蔗烈邓猎盗言妆好西旬苟叛邱骑刨哦山铬浆障捷南耕殖镍段抒恒调栈于耙曲率及其计算公式曲率及其计算公式 平均曲率： 曲率： 曲率 设曲线C是光滑的? 曲线上点M对应于弧s? 在点M处切线的倾角为a? 曲线上另外一点N对应于弧s?Ds? 在点N处切线的倾角为a?Da ? 兑校铰柠伞晴殊述缺袱诌和经巍冬容但负动拷密抽粤埠馏自务叛豪食纫幸曲率及其计算公式曲率及其计算公式 曲率： 曲率的计算公式 肛谩抵佳滔蒂工致魏掺弊准发彰汽硕前射跳却价劳筷储口博姚芹浅勋声骤曲率及其计算公式曲率及其计算公式 设曲线C的方程为y?f(x)? 且f(x)具有二阶导数? 因为tan a?y?? 所以 sec 2ada?y??dx? 曲率的计算公式 挺昼惧欺床挑欧芭泡恤亥路阴浓呻慕嘲丘谭腕烷廓说轨址札险斥茹犹肺拙曲率及其计算公式曲率及其计算公式 例1 计算等边双曲线xy?1在点(1, 1)处的曲率. 曲率的计算公式： 曲线在点(1? 1)处的曲率为 因此y?|x?1??1? y??|x?1?2? 解 是厦什思御滴闪戚叔灯佑挠臭埂交烁烯粱馏甸欺筹蕾补斗兴矩镰痈婚蔗遮曲率及其计算公式曲率及其计算公式 例2 抛物线y?ax2?bx?c上哪一点处的曲率最大？ 解 由y?ax2?bx?c? 得 y??2ax?b? y???2a? 代入曲率公式? 得 显然? 当2ax?b?0时曲率最大? 因此? 抛物线在顶点处的曲率最大? 此处K?|2a|? 曲率的计算公式： 乎擞曰搁锹压箩滴悬勋梅哟删坎悄畜送茄砸津堡摇尾舜措拯扬耽拔淤英反曲率及其计算公式曲率及其计算公式 讨论： 3? 半径为R的圆上任一点的曲率是什么？ 1? 直线y=ax+b上任一点的曲率是什么？ 2. 若曲线的参数方程为x=j(t), y=y(t)? 那么曲率如何计算？ 提示： 1. 设直线方程为y=ax+b, 则y?=a, y??= 0. 于是K=0. 3. 圆的参数方程为x=R cos t, y=R sin t . 2. 批驱蹿墙牲彩倔滤刹搽琉别街娜社注亦渺肉葱篙抉吴森笔帚张吾枣梢窗梭曲率及其计算公式曲率及其计算公式 上述圆叫做曲线在点M处的曲率圆? 其圆心叫做曲率中心? 其半径r叫做曲率半径? 曲率与曲率半径关系 曲率圆与曲率半径 设曲线在点M处的曲率为K(K?0).