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十字相乘法的运算技巧 十字相乘法，就是把一个二次三项式化为两个因式相乘的形式，是一元二次方程解法之一。“十字相乘法”：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 对于某些首项系数是1的二次三项式【】的因式分解：即：一般地，∵， ∴． 这就是说，对于二次三项式，若能找到两个数、，使 则就有． （掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数，通常要借助画十字交叉线的办法来确定，故称十字相乘法。） 对于首项系数不是1的二次三项式： 十字相乘法相对来说难学一些,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便。 一、十字相乘法的特点： 1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。 （2）用十字相乘法来解一元二次方程。 3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。 4、十字相乘法的缺陷： ①有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不适用于每一道题。 ②十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。 二、十字相乘法的应用举例： 十字相乘法的图解及待定系数 已知二次三项式2x2-mx-20有一个因式为(x+4)，求m的值. 分析：用十字相乘法分解这个二次三项式有如下的图解： 8-5=3=-m 解：2x2-mx-20=(x+4)(2x-5)=2x2+3x-20 ∴-m=3 m=-3 （由例1我们应该明白，“十字相乘”法，并非凭空而来，也没有什么新东西—— 像不像？ 只要懂(ax+b)(cx+d)，就懂“十字相乘”，这样，十字相乘中各数的意义，你记得更清楚了吧？) 再如例2：把m2+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题 解：因为 1 -2 1 ╳ 6 所以m2+4m-12=（m-2）（m+6） 请观察比较例题中的各题，你能发现把常数分解成两个整数、之积时的符号规律吗？ ⑴若＞，则、同号． 当＞时、同为正，当＜时、同为负． ⑵若＜，则、异号． 当＞时、中的正数绝对值较大，当＜时、中的负数绝对值较大． ⑶分解二项项系数、常数项有多种可能，即使对于同一种分解，十字图也有不同的写法，为了避免重或漏，故二次项系数的因数一经排定就不变，而用常数项的因数作调整； ⑷用十字相乘法分解因式时，一般要经过多次尝试才能确定能否分解或怎样分解． 因式分解与系数的关系 若多项式a2+ka+16能分解成两个系数是整数的一次因式的积，则整数k可取的值有( ) A.5个 B.6个 C.8个 D.4个 分析：因为二次项系数为1，所以原式可分解为(a+m)(a+n)的形式，其中mn=16，k=m+n，所以整数k可取值的个数取决于式子mn=16的情况.(其中m、n为整数) 因为16=2×8，16=(-2)×(-8) 16=4×4，16=(-4)×(-4) 16=1×16，16=(-1)×(-16) 所以k=±10，±8，±16 答案：B (是不是有一点即通的感觉？这一层窗户纸不厚，数学要的就是心细，胆大) 例4.分组分解后再用十字相乘 把2x2-8xy+8y2-11x+22y+15分解因式 解：原式=(2x2-8xy+8y2)-(11x-22y)+15 =2(x-2y)2-11(x-2y)+15 =[(x-2y)-3][2(x-2y)-5] =(x-2y-3)(2x-4y-5) 说明：分组后运用十字相乘进行因式分解，分组的原则一般是二次项一组，一次项一组，常数项一组.本题通过这样分组就化为关于(x-2y)的二次三项式，利用十字相乘法完成因式分解. 例5.换元法与十字相乘法 把(x2+x+1)(x2+x+2)-6分解因式 分析：观察式子特点，二次项系数和一次项系数分别相同，把(x2+x)看成一个“字母”，把这个式子展开，就可以得到关于(x2+x)的一个二次三项式(或设x2+x=u，将原式化为(u+1)(u+2)-6=u2+3u-4，则更为直观)再利用十字相乘法进行因式分解