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 * * * * * 美 丽 的 校 园 新余四中高二数学组 彭晨艳 10.4 二 项 式 定 理 二项式系数的性质 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 2 4 4 6 5 5 10 10 复习回顾: 二项式定理及展开式: n n n r r n r n n n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a C b a 0 2 2 2 1 1 1 0 0 + + + + + + = + - - - L L ） （ 二项式系数 通 项 …… …… 1 3 (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 二项式系数的性质 二项式系数表 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 《详解九章算法》记载的表 杨辉 三角 杨辉 以上二项式系数表,早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在《详解九章算法》一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。 a).表中每行两端都是1。 b).除1外的每一个数都等 于它肩上两个数的和。 4+6=10 2+1=3 例如： c r n c r-1 n + c r n+1 = 当n不大时，可用该表来求二项式系数。 C 2 3 C 2 2 C 1 2 + = = 3 C 2 5 C 2 4 C 1 4 + = = 10 因为： 二项式系数的性质 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 2 1 3 4 6 10 第1行——— 第2行—— 第6行- 第5行-- 第4行— 第3行—- 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 二项式系数的性质 先增后减 对称 函数定义：如果A、B都是非空数集，那A到B的映射f ：A→B就叫做A到B的函数。 可看成是集合｛0，1，…，n｝ 到二项式系数的集合 的映射。 ★ 对于二项式系数，r与 之间也有对应关系，即： r 0 1 2 … r … n … 二项式系数与函数 … 从映射、函数的观点看，二项式系数可以看作是一个定义域为 {0，1，2，…，n}的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。 即：r是自变量， r 自变量 二项式系数是函数值， 组合数公式就是相应函数的解析式。 1 2 3 二 项 式 函数值 二项式系数与函数 ①当n=6时，二项式系数 （0≤r≤6）用图象表示： 7个孤立的点 1 3 …… n … 1 2 3 2 2n O r f ( r ) 6 3 6 14 20 ①与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等 1：对称性 2：增减性与最大值 ①先增后减 ②关于r= 3对称 ②r=3时取得最大值 f（r） n为奇数； 如n=7 f（r） r n O 6 15 20 1 3 n为偶数； 如n=6 20 10 30 35 O n 7 4 3 ①关于r=n/2对称 ②r=3和r=4时取得最大值 二项式系数的性质 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 性质1：对称性 性质2：增减性与最大值 先增后减 当n是偶数时，中间的一项 的二项式系数 取得 最大值 ； 当n是奇数时，中间的两项 二项式系数 和 相等，且 同时取得最大值。 即 即 和 当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部是逐渐减小的，且在中间取得最大值。 当n是偶数时，中间的一项 取得最大时 ； 当n是奇数时，中间的两项 ， 相等，且同时取得最大值。 由于 C k n = n(n-1)(n-2)(n-3)……(n-k+1) k ? (k-1) ? = C k-1 n ? k n –