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第二章 多元函数微分学 第一节 多元连续函数 2-1-2 多元函数概念及其极限 2-1-2-1 函数与映射 2-1-2-2 函数的极限 2-1-3 多元函数的连续性 2-1-3-1 函数连续性的定义 2-1-3-2 连续函数的性质 2-1-3-3 线性函数、二次函数与线性映射 序 班 级 助教姓名 助教住址 助教电话 1 自21, 自22, 电机系(7)， 计算机科学系(3)，医学院(6) 张 靖 22--412 627762992 自23, 自24, 其他系(15) 张李军 20--3093 自25, 自26, 自27 陈 明 11--115 第二讲 多元函数的极限与连续性 课后作业： 复习阅读：第一章 pp. 01---21, 己在代数中学，请抽时间复习。 阅读：第二章 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 : pp. 22----28 预习：第二章 2.1, 2.2 : pp. 29---38 作业: 第二章 习题1: pp.28---29 : 1,(2), (3); 2, (2), (4); 3; 5. 2-1-2 多元函数的极限与连续性 2-1-2-1 多元函数( 数量场 )与向量函数( 向量场 ) 多元函数定义 设是的一个子集，如果按照某种确定的法则，使得每个,唯一地对应于一个实数,则称为定义在上的一个（元）函数(function), 记成：. 其中是自变量，是这个函数的定义域（domain of definition)， 实数称为所对应的函数值。记成 ， 向量函数 设是的一个子集，如果按照某种确定的法则，使得每个,唯一地对应于一个, 则称为定义在上的一个向量函数, 记成：. 其中是自变量，是这个函数的定义域（domain)， 称为所对应的函数值。记成 ， 例一：, ,. 法向为 的空间平面。 例二：, ,. 方向为 ,过点的空间直线。 2-1-2-2 函数的极限 (一)多元函数的极限定义 设 ,度量是, 定义一 设，，，使得 ,且, 都有。 (定义一)* 设, , . (定义一)** 设， ，，使得. 设 , 度量是, 度量是, 定义一 设， ，，使得 ,且, 都有。 (定义一)* 设, , . (定义一)** 设， ,,使得. ，记成, (); ，记成,() . 多元函数极限的性质 唯一性: 多元(向量)函数的极限如果存在，则是唯一的。 线性性: 极限运算的线性性。 ,()。 多样性: 自变量变化趋势的多样性，引起多元函数极限形式的多样性。： 以为例: 是指：, 这里几个度量是等价的：即 ; 显然， , 又都等价于, 因此可将 写作.这叫(二)重极限 但这与 , 是不一样的, 这叫累次极限。 也与是不一样的，这叫按指定路径的极限, 这条路径就是曲线. HYPERLINK plot3d_1.nb 例1 设,研究极限的存在性. 解 对于任意的,有.所以 因此由极限定义得到 . HYPERLINK plot3d_1.nb 例2, HYPERLINK plot3d_1.nb 例3,设 , 研究极限的存在性. 解 显然有：当沿轴或者轴趋向于原点时,趋向于零, 而且当沿从原点出发的任意一条射线趋向于原点时, 都有趋向于零. 即 . 但是, 当沿抛物线从原点趋向于原点时，有 证明了极限不存在. 这说明,多元函数的极限问题要比一元函数的情形复杂得多.必须要考察动点以各种不同方式趋向于定点时, 函数的变化趋势. 关于多元函数极限, 这里不再作更多的讨论. 有几条结论介绍一下： 重极限存在则按特殊路径的极限一定存在，反过来不成立； 重极限存在, 又有一个累次极限的内层极限，如 存在, 则累次极限存在, 且与重极限相同。 重极限存在，而累次极限不存在的例子： 例4, = 2-1-2-3 函数的连续性 连续性的定义: 设 ,度量是, 定义 : 在点连续 等价定义一: ，，使得, , 都有。 等价定义二:, . 等价定义三:，, , 都有. 等价定义四:,()。 关于闭域边界点上函数连续性的补充定义: ，, , 都有. 设 , 度量是, 度量是, 同样可定义其连续性，请自做。 设是一个区域,如果在中的每