不等式大题.docVIP

例1 适当增加条件，使下列各命题成立： （1）若a＞b，则ac2＞bc2. （c≠0） （2）若a＞b，则ac＜bc. （c＜0） （3）若a＞b，c＞d，则ac＞bd. (b＞0，d＞0) （4）若a≥b，则. （ab＞0） （5）若a＜b，则(n＝2，3). （a＞0） （6）若a＞b，则a―c＞b―d. (c＜d) 【解题要点】 明确条件对象→依据不等式性质推理→确认命题成立. 考点2 求二元变量的取值范围 例2 已知－1＜a＋b＜3，2＜a－b＜4，求2a＋3b的取值范围. 【解】设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，则. 由已知，. 所以，故2a＋3b的取值范围是. 注：本题也可以用线性规划求解. 例3 设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围. 【解】设f(－2)＝xf(－1)＋yf(1)，则， 所以. 由已知，2≤f(1)≤4，所以. 故f(－2)的取值范围是[5，10]. 【解题要点】 建立整体关系→依据不等式性质求范围. 考点3 比较代数式的大小 例4 已知a＞b＞c，比较a2b＋b2c＋c2a与ab2＋bc2＋ca2 【解】(a2b＋b2c＋c2a)－(ab2＋bc2＋ca2)＝ . 所以a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2 例1 画出下列不等式(组)表示的平面区域： xyOy＝－x y＝－2xy＝x y＝2x xyOx＝3x＋y＝0x－y＋5＝0xyO2x＋y－6＝0（1）2x＋y－ x y O y＝－x y＝－2x y＝x y＝2x x y O x＝3 x＋y＝0 x－y＋5＝0 x y O 2x＋y－6＝0 【解】 【解题要点】 确定边界线虚实→画边界→取特殊点定区域→将公共部分用阴影线表示. 例3 已知x，y满足约束条件，分别求下列目标函数的最大值和最小值. BAxx－4y＋3＝0yCO3x＋5y－25＝0x＝1（1）z＝6x＋10y；（2）z＝2x－y；（3）z＝2x－y(x，y是整数)；（4）d B A x x－4y＋3＝0 y C O 3x＋5y－25＝0 x＝1 【解】作可行域，如图，其中点A(5，2)，B(1，1)，. （1）zmin＝6×1＋10×1＝16，zmax＝6×5＋10×2＝50. （2）zmin＝2×1－，zmax＝2×5－2＝8. （3）zmin＝2×1－4＝－2，zmax＝2×5－2＝8. （4）dmin＝|OB|2＝2，dmax＝|OA|2＝29. （5）设点D(－1，0)，则，. BAxx－y＋8＝0yCOx＋2y－19＝02x＋y－14＝0例4已知实数x， B A x x－y＋8＝0 y C O x＋2y－19＝0 2x＋y－14＝0 【解】作可行域，如图，其中点A(3，8)，B(1，9). 由，得. 当函数的图象过点A时，a为最小. 此时，，即a＝2. 当函数的图象过点B时，a为最大. 此时，a＝9. 故a的最小值为2，最大值为9. BAx2x－y－1＝0yCOx＋y＝my＝1例5已知实数x，y满足，如果目标函数 B A x 2x－y－1＝0 y C O x＋y＝m y＝1 【解】因为z＝x－y的最小值为－1，则直线y＝x－z在y轴 上的截距的最大值为1. 作可行域，如图，点C为最优解. 由， 所以. 由. 【解题要点】 明确目标函数的几何意义→作可行域→找最优解→求最值. 考点4 线性规划的实际应用 例6 甲、乙两个粮库要向A，B两镇运送大米，已知甲库可调出100吨大米，乙库可调出80吨大米，A镇需70吨大米，B镇需110吨大米，两库到两镇的路程和运费如下表： 路程(km) 运费(元/km·t) 甲库 乙库 甲库 乙库 A镇 20 15 12 12 B镇 25 20 10 8 （1）这两个粮库各运往A，B两镇多少吨大米，才能使总运费最省？最小总运费是多少？ （2）最不合理的调运方案是什么？它使国家造成的损失是多少？ 【解】（1）设甲粮库向A镇运送大米x吨，向B镇运送大米y吨，总运费为z元，则 ABxx＋y＝100yO A B x x＋y＝100 y O 2x＋3y＝0 70 目标函数是z＝12×20x＋10×25y＋12×15(700－x)＋8×20(110－y) ＝60x＋90y＋30200. 如图，可行域为线段AB，其中点A(70，30)，B(0，100). 平移直线2x＋3y＝0，由图知，当直线过点A时，它在y轴上的截距 为最小.所以，当x＝70，y＝30时，z取最小值，此