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不等式综合题解答 问题1：不等式与函数的综合题 不等式与函数的综合题，是高考的常考题型，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围，与函数有关的不等式证明等，解决此类综合题，要充分运用函数的单调性，注意函数的定义域，并结合函数的奇偶性、周期性一起讨论. 例1：已知f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数，且f(1)=1，若m、n∈［－1，1］，m+n≠0时＞0 (1)用定义证明f(x)在［－1，1］上是增函数； (2)解不等式 f(x+)＜f()； (3)若f(x)≤t2－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求实数t的取值范围 证明 任取x1＜x2，且x1，x2∈［－1，1］， 则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=·(x1－x2) ∵－1≤x1＜x2≤1， ∴x1+(－x2)≠0，由已知＞0，又 x1－x2＜0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在［－1，1］上为增函数 (2)解 ∵f(x)在［－1，1］上为增函数， ∴ 解得 {x|－≤x＜－1，x∈R} (3)解 由(1)可知f(x)在［－1，1］上为增函数，且f(1)=1， 故对x∈［－1，1］，恒有f(x)≤1， 所以要使f(x)≤t2－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，即要t2－2at+1≥1成立， 故t2－2at≥0，记g(a)=t2－2at，对a∈［－1，1］，有g(a)≥0， 只需g(a)在［－1，1］上的最小值大于等于0，g(－1)≥0，g(1)≥0， 解得，t≤－2或t=0或t≥2 ∴t的取值范围是 {t|t≤－2或t=0或t≥2} 演变1：已知，点P是函数y=f(x)图象上任意一点，点P关于原点的对称点Q的轨迹是函数y=g(x)的图象. （1）当0a1时，解不等式：2f(x)+g(x)≥0； （2）当a1，x∈时，总有2f(x)+g(x)≥m恒成立，求m的范围. 问题2：不等式与数列的综合题 不等式与数列的综合题，一般来说多是证明题，要熟悉不等式的常用证明方法，特别是比较法、综合法、分析法、数学归纳法等，也可利用函数的思想. 例2：数列{xn}由下列条件确定：（Ⅰ）证明：对n≥2，总有；Ⅱ）证明：对n≥2，总有； 思路分析：（Ⅰ）证明：由，可归纳证明 从而有（均值不等式的应用—综合法），所以，当n≥2时，成立. （Ⅱ）证法一（作差比较法）：当n≥2时，因为， 所以，故当n≥2时，成立. 证法二（作商比较法）：当n≥2时，因为， 所以 ，故当n≥2时，成立. 演变2：数列｛an｝满足a1=1且an+1= （n≥1）． （1）用数学归纳法证明：an≥2（n≥2）； （2）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：an＜e2（n≥1），其中无理数e=2.71828…． 问题3：含有参数的不等式问题 含有参数的不等式问题是高考常考题型，求解过程中要利用不等式的性质将不等式进行变形转化，化为一元二次不等式等问题去解决，注意参数在转化过程中对问题的影响. 例3：已知. （1）当t=－1时，解不等式：f(x)≤g(x)； （2）如果当x∈[0,1]时，f(x)≤g(x)恒成立，求参数t的取值范围. 思路点拨：将对数方程转化为不含对数的方程，在转化过程中要注意定义域. 解：（1）t＝－1时，f(x)≤g(x)，即为，此不等式等价于解得x≥,∴原不等式的解集为｛x|x≥｝ (2) x∈[0,1]时，f(x)≤g(x)恒成立, ∴x∈[0,1]时，恒成立， ∴x∈[0,1]时，恒成立，即x∈[0,1]时， 恒成立，于是转化为求（ x∈[0,1]）的最大值问题. 令，则x=u2－1，由x∈[0,1]，知u∈[1,]. ∴ ＝－2（u2－1）＋u= 当u=1时，即x=0时，有最大值为1. ∴t的取值范围是t≥1. 演变3：解关于x的不等式： 问题4：不等式的实际应用问题 对于应用题要通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物系统的主要特征与关系，建立起能反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识求出题中的问题 例4、为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图，要求∠ACB=60°，BC长度大于1米，且AC比AB长0.5米.为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？ 解：设BC=a，(a＞1)，AB=c，AC=b， .. 将代入得，代简得. ∵a1，∴a-10 . 当且仅当时，取“=”号，即时，b有最小值. 答：AC最短为米，此时，BC长为米 演变4．如图，一载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶，其中 在距离O地5a（a为正数）公里北偏东β角的N处住有一位