尺规作图进修稿.docVIP

尺规作图------六种基本图形 钱库三小 陈泰枢 尺规作图是指用一把没有刻度的直尺和一个圆规作图。 尺规作图是起源于 HYPERLINK /view/64778.htm \t _blank 古希腊的数学课题。只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。尺规作图使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同： 1、直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度； 2、圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成之前构造过的长度。 最简单的尺规作图有如下三条： ⑴ 经过两已知点可以画一条直线； ⑵ 已知圆心和半径可以作一圆； ⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点； 以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题. 历史上，最著名的尺规作图不能问题是： ⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角； ⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍； ⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积. 这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题. 若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书. 一．点 （1）中点（做法与中垂线的方法相同）。 已知：如图，线段MN. 求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）. 作法： 分别以M、N为圆心，大于的相同线段 为半径画弧，两弧相交于P，Q； ②连接PQ交MN于O．则点O就是所求作的ＭＮ的中点。 （试问：PQ与ＭＮ有何关系？） 练习： （2）三等分点（N等分点）。 （3）黄金分割点的做法。 二．线 （1）作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a . 求作：线段AB，使AB = a . 作法： ①作射线AP；用圆规在射线AP上截取AB=a . ②则线段AB就是所求作的图形。 （2）作已知线段的中垂线。 已知：如图，线段MN. 求作：线段MN的中垂线L. 作法： ① 分别以M、N为圆心，大于　　　 的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q； ② 连接PQ，PQ所在的直线就是所求作的ＭＮ的中垂线L。 练习： （3）过已知直线上一点作已知直线的垂线 （4）过已知直线外一点作已知直线的垂线 （5）过已知直线外一点作已知直线的平行线 三．角 （1）作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB， 求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。 作法： ①以O为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交OA，OB于M，N； ②分别以M,N为圆心，大于　　　 ③的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ； 作射线OP。则射线OP就是∠AOB的角平分线。 练习： (2)作一个直角 (3)作2倍角（或N倍角） 已知：如图，∠， 求作：∠, 使∠＝2∠。 (4)思考： 如图，已知∠α，∠β，用直尺和圆规求作一个∠γ，使得∠γ=∠α-∠β． 四.三角形 (1)已知三边作三角形。 已知：如图，线段a，b，c. 求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a. 作法： 作线段AB = c； 以A为圆心b为半径作弧， 以B为圆心a为半径作弧与 前弧相交于C； 连接AC，BC。 则△ABC就是所求作的三角形。 (2)已知两边及夹角作三角形。 已知：如图，线段m，n, ∠. 求作：△ABC，使∠A=∠，AB=m，AC=n. 作法： 作∠A=∠； 在AB上截取AB=m ,AC=n； 连接BC。 则△ABC就是所求作的三角形。 (3)已知两角及夹边作三角形。 已知：如图，∠，∠，线段m . 求作：△ABC，使∠A=∠，∠B=∠,AB=m. 作法： 作线段AB=m； 在AB的同旁 作∠A=∠，作∠B=∠， ∠A与∠B的另一边相交于C。