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初等代数研究课后习题 20071115033 数学院 07（1） 杨明 1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即 （1）对任何，当且仅当时，. （2））对任何，在，，中有且只有一个成立. 证明：对任何，设， （1）“” ，则,使，, “” ，则,使，, 综上 对任何， （2）由（1） 与不可能同时成立， 假设与同时成立，则,使且， 与B为有限集矛盾，与不可能同时成立， 综上，对任何，在，，中有且只有一个成立.. 2、证明自然数的加法满足交换律. 证明：对任何设M为使等式成立的所有b组成的集合 先证 ，设满足此式的组成集合k，显然有1+1=1+1成立 ，设，，则 ，， 取定，则，设，则 EMBED Equation.DSMT4 对任何， 3、证明自然数的乘法是唯一存在的 证明：唯一性：取定，反证：假设至少有两个对应关系，对，有 ，设是由使成立的所有的组成的集合， 设则 ，， 即， 乘法是唯一的 存在性：设乘法存在的所有组成集合 当时，， ，设，， 有与它对应，且，，对，令 即乘法存在 p24—5、解：满足条件的有，，， ，，， 基数和为 p24—6、证明：，中的与中的对应 ， p24—8、证明：1）3+4=7 2） p24—12、证明：1） 2） p26—36、已知对任何满足 求证：1） 2） 3） 证明：1)当时，结论成立， 假设时，结论成立，即， 当时， 所以对一切自然数结论都成立 2）当时，结论成立 假设时，结论成立，即 当时， 所以对一切自然数结论都成立 3）当时，结论成立 假设时，结论成立，即 当时， 所以对一切自然数结论都成立 p62—1、证明定理2.1 证明：， 因为自然数加法满足交换律 而 ， 以为自然数满足加法结合律 即整数加法满足交换律和结合律 p62—2、已知，求证的充要条件是 证明：“” 已知则 “” 已知则， p62—4、已知，求证 证明： p62—5、已知，求证 证明：左边 右边 所以左边等于右边 p62—7、已知，求证当且仅当时 证明：“” 已知， 因为 是负数， “” 已知则 因为是负数， p62—9、已知，求证：1） ，2） 证明：设 1） 而 2） 而 p63—12、名棋手每两个比赛一次，没有平局，若第名胜负的次数各为， ，求证： 证明：对于，必存在一个使得 p63—16、已知，，求证 证明：由已知：使， EMBED Equation.3 p63—17、设2不整除，求证 证明：因为2不整除，所以存在唯一一对，使，其中 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 p63—20、设，求证是奇数的平方 证明： 肯定一奇一偶肯定为偶数 肯定为奇数 p63—22、证明：前n个自然数之和的个位数码不能是2、4、7、9 证明：前n个自然数的和为 因为：n个自然数的和仍为自然数 EMBED Equation.DSMT4 1+n与n中必定一个为奇数一个为偶数 若个位数码为2 则1+n与n的个位数码只能是1,4或4,1 而（1+n）- n=1 个位数码不能为2 若个位数码为4 则1+n与n的个位数码只能是1,8或8,1也不可能成立 若个位数码为7 则1+n与n的个位数码有2种可能，则2,7或1,14 也不可能成立，若个位数码为9 则1+n与n的个位数码有2种可能，即2,9或1,18 也不可能成立， 综上，前n个自然数和的个位数码不能是2,4,7,9 p63—26、证明2.3定理1（）=（） 证明：因为：（）是的公因数中的最大数 所以R需考虑非负整数 （）=（） p63—29、证明2.3定理4的推论的充要条件是有使得 证明：因为 不全为0 “” 由定理4 使 “” 设则， p63—30、证明2.3定理6及其推论。定理6：若，则 证明：若都为0，则显然成立 若不全为零，则使 而 因为， 而 推论：设是的公因数，则的充要条件是 证明：“” 是的公因数