导数的应用教案.docVIP

第二讲 导数的应用（3课时） 一、基础知识梳理： （一）导数与函数的单调性的关系 设函数在区间内可导，则在区间上是增（减）函数的充要条件是在区间恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0. 注 = 1 \* GB3 ①如果函数在区间内恒有=0，则为__常数函数__________. = 2 \* GB3 ②是f（x）递增的____充分_______条件， ③f（x）递增； 反之f（x）递增 （二）极值 1、极值的定义：在附近所有的点，都有，则是函数的极大值， 同理: 在附近所有的点，都有，则是函数的极小值； 函数的极大值与极小值统称_极值；取得极值的__________________叫做极值点。 2、极值的判别方法：当函数在点处连续时， = 1 \* GB3 ①如果在附近的左侧_，右侧，那么是极大值； = 2 \* GB3 ②如果在附近的左侧，右侧_，那么是极小值. 注 = 1 \* GB3 ①：对于可导函数,是极值点 的充要条件是?_______________________________ 对于可导函数，是是极值点的______条件 = 2 \* GB3 ②极值是局部概念，极值点是区间内部的点而不会是端点； ③极值的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小. ④若在某区间内有极值，那么在某区间内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值； 二、基础训练： 1、（2009江苏卷）函数的单调减区间为 __________ 解析： ， 由得单调减区间为。 注：求函数的单调增(减)区间，只需解不等式 不必考虑等号。 2、函数的极值点是 ______极值是 3、函数y＝sin2x－x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))的最大值是________，最小值是________．答案：eq \f(π,2)　－eq \f(π,2) 4、（2009辽宁卷文）若函数在处取极值，则 解析:f’(x)＝ f’(1)＝＝0 ? a＝3 三、典型例题： 题型一：导数与函数的单调性 1、（2009北京卷）设函数 （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围. 【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力． （Ⅰ）, 曲线在点处的切线方程为. （Ⅱ）由，得， 若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 若，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， （Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当， 即时，函数内单调递增， 若，则当且仅当， 即时，函数内单调递增， 综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是. 2、赢在高考第47页迁移训练第1题（教师用书第88页左面第一题） 略 3、设平面向量，若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使 （1）求函数关系式； （2）函数在上是单调函数，求k的取值范围。 解：（1），，， ， ， （2） 则在上有 由由 。 因为在t∈上是增函数，所以不存在k，使在上恒成立。故k的取值范围是。 4、（2009浙江文）已知函数 ． （I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值； （II）若函数在区间上不单调，求的取值范围． 解析 ： （Ⅰ）由题意得 又 ，解得，或 （Ⅱ）函数在区间不单调，等价于 导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数，即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有， 即： 整理得：，解得 题型二：导数与函数的极值、最值 1．已知函数f(x)＝x2e－ax(a0)，求函数在[1,2]上的最大值． 分析：通过求导先判断单调性再求最值．在求最值时，对a的情况要进行讨论． 解：f(x)＝x2e－ax(a0)， ∴f′(x)＝2xe－ax＋x2·(－a)e－ax＝e－ax(－ax2＋2x)． 令f′(x)0，即e－ax(－ax2＋2x)0，得0xeq \f(2,a). ∴f(x)在(－∞，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，＋∞))上是减函数， 在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,a)))上是增函数． ①当0eq \f(2,a)1，即a2时，f(x)在(1,2)上是减函数， ∴[f(x)]max＝f(1)＝e－a. ②当1≤eq \f(2,a)≤2，即1≤a≤2时，f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2,a)))上是增函数，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，