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导数综合练习 2012.2 1.（本小题共13分） 已知函数. （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 解：（Ⅰ）当时，，. ，． ………3分 所以所求切线方程为即． ……5分 （Ⅱ）. 令，得. ………7分 由于，，的变化情况如下表： + 0 — 0 + 单调增 极大值 单调减 极小值 单调增 所以函数的单调递增区间是和. …………9分 要使在区间上单调递增， 应有 ≤ 或 ≥， 解得≤或≥． …………11分 又 且， …………12分 所以 ≤． 即实数的取值范围 ． …………13分 2.(本小题满分13分) 已知函数（为实数）. （I）当时， 求的最小值； （II）若在上是单调函数，求的取值范围. 解：(Ⅰ) 由题意可知： ……1分 当时 …….2分 当时， 当时， ……..4分 故. …….5分 (Ⅱ) 由 ① 由题意可知时，,在时，符合要求 …….7分 ② 当时，令 故此时在上只能是单调递减 即 解得 …….9分 当时，在上只能是单调递增 即得 故 …….11分 综上 …….13分 3.（本小题满分13分） 已知函数，其中是常数. （Ⅰ）当时，求在点处的切线方程； （Ⅱ）求在区间上的最小值. (18)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由可得 . ………………………………………2分 当时, ,. ………………………………………4分 所以 曲线在点处的切线方程为， 即. ………………………………………6分 （Ⅱ）令， 解得或. ………………………………………8分 当，即时，在区间上，，所以是上的增函数. 所以的最小值为＝; ………………………………………10分 当，即时, 随的变化情况如下表 ↘ ↗ 由上表可知函数的最小值为. ……………………………………13分 4.（本小题共14分） 已知函数． （Ⅰ）若函数在，处取得极值，求，的值； （Ⅱ）若，函数在上是单调函数，求的取值范围． 解：（Ⅰ）， ……………………2分 由 ， ……………………4分 可得 ． ……………………6分 （Ⅱ）函数的定义域是， ……………………7分 因为，所以． ……………………8分 所以， ……………………9分 要使在上是单调函数，只要或在上恒成立． ……………………10分 当时，恒成立，所以在上是单调函数；……11分 当时，令，得，， 此时在上不是单调函数； ……………………12分 当时，要使在上是单调函数，只要，即．…13分 综上所述，的取值范围是． ……………14分 5.（本小题满分13分）【西城，文科】 已知函数，其中. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）若在上的最大值是，求的值. 18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：. ………………3分 当时，，从而函数在上单调递增. ………………4分 当时，令，解得，舍去. ………………5分 此时，与的情况如下： ↗ ↘ 所以，的单调增区间是；单调减区间是.…………7分 （Ⅱ）① 当时，由（Ⅰ）得函数在上的最大值为. 令，得，这与矛盾，舍去. ………………9分 ② 当时，，由（Ⅰ）得函数在上的最大值为. 令，得，这与矛盾，舍去. ………………10分 ③ 当时，，由