第9讲 1.古希腊三大几何作图困难的非尺规解法.docVIP

数学名题欣赏 第9讲 1 . 古希腊三大几何作图难题的非尺规解法 公元前四世纪，古希腊的智人学派(也称巧辩学派)提出并研究了三大几何作图问题：立方倍积问题、三等分角问题和化圆为方问题. 立方倍积问题: 已知一个立方体. 仅用圆规和直尺, 作一个立方体, 使其体积等于已知立方体的体积的两倍. 三等分角问题: 任意给定一个角. 仅用圆规和直尺, 把该角三等份. 化圆为方问题: 已知一个圆. 仅用圆规和直尺, 作一个正方形, 使其面积等于已知圆的面积. 直到十九世纪, 人们才证明了, 用圆规和直尺不可能解决上述三个几何作图问题. 1837年，旺策尔(P．Wantzel)证明了立方倍积和三等分角的不可能性. 1882年，林德曼(C. Lindemann)证明了的超越性，从而推断，只用圆规和直尺不能化圆为方. 虽然著名数学家克莱茵于1895年已经对三大作图问题作了总结，严格证明了, 仅用尺规绝不可解这些问题，彻底解决了两千多年的悬案，但用其他几何方法还是可以准确地(非测量地)解决这三个问题的. 一 立方倍积问题的丝线解法 历史传说 关于立方倍积问题的提出，传说很多. 埃拉托塞尼(Eratosthenes，公元前226年——公元前195年)在名著《柏拉图》一书中写道：太阳神阿波罗向提洛岛的人们宣布, 瘟疫即将流行. 为了摆脱灾难，必须把德里安祭坛的体积扩大，使之变为现在这个立方体祭坛的体积的两倍，而且要求仍然是一个立方体. 工匠们百般努力，百思不得其解，于是去请教柏拉图. 柏拉图提醒大家，神发布这个谕示，并不是想得到一个体积加倍的祭坛，而是以此难题来责难希腊人对数学的忽视和对几何学的冷淡. 埃拉托塞尼是国王托勒密(Ptolemy)之子的家庭教师，他把自己关于立方倍积的工作上报给托勒密国王，引起了国王的重视，并在全国悬赏征解. 又有一个传说, 说的是古代一位希腊悲剧诗人, 他描述过一位名叫弥诺斯的匠人为皇族格劳科斯修坟的故事. 弥诺斯说，原来设计的每边都是百尺的立方体坟墓，对于殉葬者众多的皇家而言还嫌太小，皇家要求他把其体积加倍. 当时古希腊关于立方倍积的传说满天飞，可见人们对这一问题的重视和兴趣. 设是已知立方体的棱长，是所求立方体的棱长，于是, . 解法一 希腊数学家梅纳奇马斯(Menaechmus，前375——前325)考虑了两条抛物线 和 的交点. 由于，所以. 于是, 这两个抛物线的交点(非原点)的横坐标即为所求的立方体之棱长. 解法二 笛卡儿(Descartes，1596—1650)只用上面两条抛物线中的一条就求得了. 事实上，上述两条抛物线的交点满足, 此为中心在、半径为的圆. 此圆过两抛物线的交点，所以为求两抛物线的交点的横坐标，只需求上述圆与两条抛物线之一的交点即可(圆比抛物线容易作出). 解法三 在上述方法中要作抛物线，这件事用尺规不能完成. 下面介绍一种巧妙的“丝线作图法”. 1. 作边长为的正三角形，延长到，使得; 2. 作直线和; 3. 取丝线一条, 在其上标出两点和，使; 4. 拉直丝线，使其通过点，且点和分别落在和上. 于是可证: ，即为体积加倍的立方体的棱长. 注 的求法如下. 由上图, , 故. 在中使用余弦定理, 得, 即. 于是得. 故. 二 用木工尺三等分任意角 木工尺就是图中所示的直角尺. 设尺的拐角内点为, 在和垂直的尺边上取一点, 使等于尺宽. 任意给定一角. 用木工尺作一条与相距为尺宽的平行线. 令尺边上的点落在上, 落在上, 尺边过点, 则沿画出的直线与的夹角等于. 事实上, , 于是. 三 用割圆曲线化圆为方 割圆曲线是古希腊数学家希庇亚斯为解决化圆为方问题而发明的. 设点是已知圆的圆心, 为一条半径. 把线段绕点顺时针匀速旋转到的位置, 同时, 与平行的直线匀速平移到位置, 且和同时到达. 可以证明, 在运动过程中, 线段和直线始终相交. 它们的交点的轨迹称为割圆曲线(图中的粗实线). 由于此曲线把以为圆心、以为半径的圆切割成两块, 所以该曲线称为割圆曲线. 如图建立坐标系, 设, 则割圆曲线的方程为 . 于是. 由于我们利用割圆曲线, 所以是已知线段. 于是, 我们可用尺规作出线段和线段, 使得. 于是, 以为一边的正方形的面积等于已知圆的面积. 注1 证明: 在运动过程中, 线段和直线始终相交. 设旋转的角速度为, 平移的速度为, 则因和同时到达, 所以. 于是. 在时刻, 的纵坐标. 的纵坐标 今证. 令, 则要证 . 当时, ; 当时, . 又在或时, , 所以. 即成立. 所以线段和直线始终相交. 注2 由, 得, 所以, 于是割圆曲线的方程为. 2 . 捆