第18讲 函数与方程.docVIP

第18讲 函数与方程 一、要点精讲 1．方程的根与函数的零点 （1）函数零点：概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。 二次函数的零点： １）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。 零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。 2.二分法 二分法及步骤：对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： （1）确定区间，，验证·，给定精度；（2）求区间，的中点；（3）计算： ①若=，则就是函数的零点；②若·，则令=（此时零点）； ③若·，则令=（此时零点）； （4）判断是否达到精度；即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4。 注：函数零点的性质 从“数”的角度看：即是使的实数； 从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标； 若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点； 若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点。 注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。 3．二次函数的基本性质 （1）二次函数的三种表示法：y=ax2+bx+c；y=a(x－x1)(x－x2)；y=a(x－x0)2+n。 （2）当a0，f(x)在区间［p，q］上的最大值M，最小值m，令x0= (p+q)。 若－p，则f(p)=m，f(q)=M；若p≤－x0，则f(－)=m，f(q)=M； 若x0≤－q，则f(p)=M，f(－)=m；若－≥q，则f(p)=M，f(q)=m。 （3）二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件。 ①方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)0； ②二次方程f(x)=0的两根都大于r ③二次方程f(x)=0在区间(p，q)内有两根 ④二次方程f(x)=0在区间(p，q)内只有一根f(p)·f(q)0，或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p，q)内成立。 二、典例解析 题型1：方程的根与函数零点 例1．（1）方程lgx+x=3的解所在区间为（ ） A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，+∞) （2）设a为常数，试讨论方程的实根的个数。 解析：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图)。它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较与2的大小。当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此＞2，从而判定∈(2，3)，故本题应选C。 （2）原方程等价于即 构造函数和，作出它们的图像， 易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况可得： ①当或时，原方程有一解；②当时，原方程有两解； ③当或时，原方程无解。 题型2：零点存在性定理 例2．若函数在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ） A．若，不存在实数使得； B．若，存在且只存在一个实数使得； C．若，有可能存在实数使得； D．若，有可能不存在实数使得； 解析：由零点存在性定理可知选项D不正确；对于选项B，可通过反例“在区间上满足，但其存在三个解”推翻；同时选项A可通过反例“在区间上满足，但其存在两个解”；选项C正确，见实例“在区间上满足，但其存在实数解”。 题型3：二分法的概念 例3．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（） A．“二分法”求方程的近似解一定可将在[a,b]内的所有零点得到； B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到在[a,b]内的零点； C．应用“二分法”求方程的近似解，在[a,b]内有可能无零点； D．“二分法”求方程的近似解可能得到在[a,b]内的精确解； 解析：如果函数在某区间满足二分法题设，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解，二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，甚至有可能得到函数的精确零点。 例4．方程在[0，1]内的近似解，用“二分法”