第 44 讲 空间距离(第2课时-求点线点面线面面面距离).docVIP

第 44 讲 空间距离-求点线、点面、线面、面面距离 （第2课时） 考点热点一定掌握！ 考点热点 一定掌握！ 3. 求点线、点面、线面、面面距离 ⑴ 定义 点线距离：过点作出与直线相交的垂线，点到垂足间的距离叫做这一点和这直线间的距离。 点面距离：过点作出平面的垂线，点到垂足间的距离叫做这一点和这平面间的距离。 线面距离：若直线和平面平行，则这条直线上的任一点到这平面的距离叫做这直线和这平面间的距离。 面面距离：夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面间的距离。 ⑵ 求点线距离的方法 一般利用三垂线定理作出垂线段，再求垂线段的长。 例．是正的中心，线段垂直于所在的平面，，，求点到的距离。 解：连接并延长与交于， ∵ ，∴ （三垂线定理）， ∴ 就是点到的距离距离。 ∵ 的边心距 ， ∴ 。 ⑶ 求点面距离的方法 ①利用定义直接作出距离，经论证后计算； ②利用二面角的平面角的性质：即“平面角的一边上的任一点到另一边的距离都垂直于另一边所在的平面”。 具体做法：过平面角的一边上的任一点作平面角的另一边的垂线，垂线长即为所求。 ③转化为锥体的高，利用体积公式求出高，即为所求。 例．如图，梯形的底边在平面内，另一边到的距离为8，如果:=7:3，求梯形对角线交点到平面的距离。 解：作于，则 =8；作于， 则 ∥，连接，（在上吗？） ∵ 是在内的射影，∴ 在上。 （往下就可以利用平面几何的相似三角形知识来做了。） ∵ ∽，∴ ， ∵ ∽，∴ ， ∴ 。 点评：本题使用方法①求点面距离。 例．如图，在四面体中，==，高，，。求点到面的距离。 解：， ， 。 则由 得 ，即 ， ∴ 点到面的距离为。 点评：本题使用方法③求点面距离。本题利用“同一立体不论以哪个面作为底面，算出的体积都相等”来求高，这样就可以免去找高及证其是高的麻烦。 ⑷ 求线面距离、面面距离的方法 求线面距离、面面距离时，一般转化为点面距离来求，其实所有距离最后都化为两点距离来求。 例．如图，ABCD与ABEF均是正方形，如果二面角E—AB—C的度数为30°，求EF与平面ABCD的距离。 解：作FG⊥平面ABCD于G，根据线面距离的定义可知，FG即为所求， 连接，由三垂线定理逆定理可知，⊥， 又 ⊥AD ，∴ 和AD重合，∴ G点在AD上， 显然∠FAD是二面角E—AB—C的平面角，∠FAD=30°， ∴ 。 例．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知平面A1BC1∥平面ACD1 ，AB=4，BC=3，CC1=2 ，求平面A1BC1和平面ACD1的距离。 解：设平面A1BC1与ACD1间的距离为d，则d等于D1到平面A1BC1的距离， 易知 A1C1=5，A1B=2，BC1=， ∴ ， ， ∴ S= ， 由于 与是同一个三棱锥， ∴ ， ∴ S·d=·BB1 ，解之得 d=， 故所求的距离为。 ⑸ 能力测试认真完成！ 能力测试 认真完成！ 参考答案仔细核对！ 参考答案 仔细核对！ LJ 01 07,16,26,35 求点线、点面、线面、面面距离 1 2 3 4 5 6 7 求点线距离 √ √ 求点面距离 方法1 √ 方法2 √ 方法3 √ 求线面距离 方法1 √ 方法2 方法3 求面面距离 方法1 √ 方法2 方法3 1．如图，是正方形，线段平面，，。求点到的距离。（分析题目时使用左图，写解答过程时请使用右图。） 解：如图，连接，设中点为，连接、， ∵ 是正方形，∴ ，， 又∵ 面，∴ （三垂线定理）， 故就是点到的距离， 又∵ 面，∴ ， ∴ 。 点评：本题求点线距离。 2．如图，已知直线切圆柱于点，与圆柱底面夹角为，为圆柱下底面的圆心，，底面半径为。求到的距离。（分析题目时使用左图，写解答过程时请使用右图。） 解：如图，作垂直底面于，连接， 则为底面圆的切线 （为什么？怎么证明？），且 。 作于，连接、， ∵ ，，∴ 平面，∴ ， ∴ （三垂线定理）， 在中，∵，，∴ ， 在中，∵ ，，∴ 。 在中，， 在中， 。 点评：本题求点线距离。 3．从平面外一点向平面引三条斜线，与平面内一直线分别交与、、，斜线与平面所成的角分别为、、，且 ，，平面不垂直平面。求点到平面的距离。（分析题目时使用左图，写解答过程时请使用右图。） 解：如图，作平面于，设， ∵ ，，，， ∴ 在中，，同理，，， 在中，设 =， 则 ， 在中， ， ∴ ， 即 ， ∴ 。 点评：本题使用方法①求点面距离。 另解：过作的垂线可得 ，变形后结果一样。 4．两点、在平面的同旁，到平面的距离分别是和，点分线段成:的两段。求点到平面的距离