第八章多元函数微分法及其应用.doc

第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 1．填空。 （1）设，则=________________； (2) 设则 =_________________； (3) 设若当时，则函数=________________； (4) 函数的定义域是_________________________； (5) 函数的定义域是，此定义域可用平面图形表示为 _____________________________________。 2．求极限。 （1） （2） 4．讨论函数的连续性。 第二节 偏导数 1．填空。 （1）则，； （2）则，； (3) 设，则=__________, =__________, =__________,=__ ________； （4）设 ，（为连续函数），则=__ ________, =__ ________。 2．证明函数在处连续，但偏导数不存在。 3．验证满足。 4．求下列函数的二阶偏导数 （1） （2） 第三节 全微分及其应用 1．填空。 （1）设，则 （2）设，则 （3）设，则 2．求函数当时的全增量和全微分。 3．求函数的全微分 4．设证明在点(0,0)处连续且偏导数存在，但不可微。 多元复合函数的求导法则 1．请把及填入下列式子的空括号里，并写出计算结果。 （1）设，而，，则复合关系图为 ，从而_______________________. ，令，，， 则复合关系图为 ，且 = . 2．设,而，，求， 3．设u=, 而，，求. 4．设，而 ,为可导的函数，证明： 5．设，其为可导的函数，验证. 6．设，其中是有一阶连续偏导数，求，， 第五节 隐函数的求导法则 1．设，求及 2．设， 用隐函数求导的公式求； 用复合函数求偏导数的方法求； 利用全微分形式不变性求出及。 具有连续偏导数，证明由方程所确定的函数满足 4．已知，求，是把变量 视为自变量，变量 与 视为变量 的函数。求出 5．已知，求，，，， 与 看作自变量，而把变量 与 都看作 与 的函数，求出， 6．设，求 第六节 微分法在几何上的应用 螺旋线，，在点处的切线和法平面方程。并证明其上任一点的切向量与轴成一定角。 求曲线，在点处的切线和法平面方程。 求曲面在点处的切平面和法线方程。 在曲面上求一点，使该点处的法线垂直于平面，并写出该法线方程。 证明锥面上任意一点处的切平面都通过锥面的顶点。 试证曲面上的任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于。 第八节 多元函数的极值及其求法 求函数的极值。 求函数的极值。 求平面和柱面的交线上与平面距离最短的点。 在球面位于第一卦限的部分求一点P，使该点处的切平面在三个坐标轴上截距的平方和最小。 第八章 多元函数微分法及其应用总习题 设，求，其中具有一阶连续偏导数。 设，验证。 设，又，求常数，使。 4．设，求及。 设，问：（1）在点是否连续，为什么？（2）在点的偏导数，是否存在？（3）在点是否可微？为什么？ 设，其中有二阶连续偏导数，二阶可导，求。 设，而是由方程所确定的的函数，其中都具有一阶连续的偏导数，试证明： 设，其中具有一阶连续的偏导数，利用全微分形式不变性求隐函数的全微分，并由此求出。 10．求曲线上点处的法平面与直线间的夹角。 过直线，作曲面的切平面，求此切平面方程。 经过点但不过原点的所有平面中，哪一个平面与坐标面所围成的立体的体积最小。 重积分 第一节 二重积分的概念与性质 选择题. 设， 若由轴，轴与直线围成，则在上 A． B． 由二重积分的性质可知 . A． B． C． 填空题 设若，区域为，则在上，的最小值为 最大值为 此时, . 第二节 二重积分的计算法 填空：改变积分次序 (1) (2) 若则= . (3) 设： ，则应把二重积分化为先