第三章 向量解答10.8.3.doc

第三章 向量组的线性相关性 历年试题分类统计及考点分布 分 值 考点 年份 向量组的线性组合与线性表示 线性相关、无关的定义性质及判别 向量组的极大无关组与向量组的秩 等价向量组、向量的秩与矩阵的秩 向量空间、基变换、坐标变换、过渡矩阵 标准正交基，正交矩阵 其他 合计 87 3 3 88 3 3 89 3 3 90 3 3 91 92 7 3 10 93 6 6 94 3 3 95 96 3 3 97 5 5 98 4 3 7 99 3 3 00 3 3 01 4 4 8 02 03 4 4 8 04 4 4 05 06 4 4 07 4 4 08 10 10 09 3 4 7 10 4 4 合计 4 48 3 22 15 5 4 本章知识脉络图 考点分析 1. 向量组线性相关性的概念、性质及判别，考过9次，是重点。 2. 矩阵的秩（其中有一道是关于空间解析几何的应用题）及其与向量组的秩的关系考过4次。 3. 满秩方阵（既可逆方阵，或非奇异方阵）是一类重要的方阵。如果为n阶方阵，则下列条件相互等价： 1) （为非奇异方阵） 2) 可逆（为可逆矩阵） 3) （为满秩方阵） 4) 与同阶单位矩阵行（列）等价 5) 可以表示成若干个初等方阵的乘积 6) 齐次线性方程只有零解 7) 对任意n维列向量，非齐此线性方程组有唯一解 8) 的行（列）向量组线性无关. 利用这些等价条件，就可以将其中某个问题转化成与之等价的问题进行处理，（可将m阶方阵的行列式是否为零的问题转化为m阶方阵的秩是否小于m的问题，或转化为齐此线性方程组是否有非零解的问题）。特别地，由1)与8)的等价性，提供了n个n维向量是否线性相关的判别方法——归结为由这n个n维向量所组成的方阵的行列式是否为零的问题。 大纲要求 向量的概念 向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量空间及其相关概念 n维向量空间的基变换和坐标变换 过渡矩阵 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 规范正交基 正交矩阵及其性质 考试内容与要求 理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念。 理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。 理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。 理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系。 了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念。 了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵。 了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法。 了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质。 基本内容 一、向量的线性关系 1.线性组合 定义 若，则称可由线性表示，或称是向量组的线性组合. 注意: 零向量是任意向量组的线性组合. 定理 可由线性表示 非齐次方程组 有解 2.线性相关性 定义 设是m个n维向量，若有不全为零的数使 则称线性相关，否则称 线性无关. 注意：（1）无论线性相关，还是线性无关，当时，都有 （2）线性相关当且仅当除去全为零的以外，还有一组不全为零的使 （3）而线性无关当且仅当时 （4）充要条件是只要不全为0，则 性质与判别法 (1)线性相关 齐次组 有非零解. 中至少有一个向量可由其余个向量线性表示. (2) 线性无关 齐次组 只有非零解. 中任一向量都不能由其余个向量线性表示. (3)只有一个向量组成的向量组， 向量组线性相关; 向量组线性无关. (4) 两个向量组成的向量组，其中， 线性相关 (5)若向量组中含有零向量，则向量组必线性相关. (6)若向量组线性无关，则该向量组的部分组必线性无关； 若向量组部分组线性相关，则向量组线性相关. (7)设是s维向量 是t维向量 则，， 是维向量, 若线性无关，则线性无关; 若线性相关，则线性相关. (8)若向量组中向量的个数向量的维数，则向量组线性相关. (9) n个n维向量线性无(相)关 矩阵的 (10)正交的非零向量组，必线性无关. 3.线性表示与线性相关性的关系 (1)若线性无关，线性相关，则可由线性表示，而且表法唯一. (2)设(Ⅰ)，(Ⅱ)， 若，且(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，则向量组(Ⅰ)线性相关 (3) 若(Ⅰ)线性无关，且向量组(Ⅱ)可线性表出(Ⅰ)，则 . 二、极大无关组与向量组的秩 1.向量组的等价 定义 若向量组(Ⅰ)和向量组(Ⅱ)可以相互线性表示，则称向量组(Ⅰ