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第三章 函数的应用 函数 函 数 的 应 用 函数与方程 函数模型及其应用 方程的根与 函数零点的关系 用二分法求方程的近似解 几种不同增长的函数模型 用已知函数模型解决问题 建立实际问题的函数模型 函数零点的存在性 一次函数、二次函数 指数、对数函数 幂函数、分段函数 对数增长 指数函数，对数函数，幂函数增长速度的比较。 3.1 函数与方程 3.1.1方程的根与函数的零点 一、函数零点的概念 1.函数零点的定义 对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2．函数零点的意义 函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。 二．二次函数的零点问题 1.二次函数的零点 二次函数的零点： 1）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点； 2）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点； 3）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。 2.二次函数零点的分布问题 二次函数零点的分布即一元二次方程根的分布，一般为下面两个方面的问题： （1）一个区间内只有一个根； （2）一个区间内有两个根. 设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下面表 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 一根在内，另一根在内， 大致图象（） 得出的结论 或 大致图象（） 得出的结论 或 综合结论（不讨论） —————— 三．零点存在性性判定定理： 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。 四、典型例题讲解 题型1：方程的根与函数零点 例1．（1）方程lgx+x=3的解所在区间为（ ） A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，+∞) 解析：（1）在同一平面直角坐标系中， 画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图)。 它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内， 由此可排除A，D至于选B还是选C，由于画 图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上 这是要比较与2的大小。当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此＞2，从而判定∈(2，3)，故本题应选C。 （2）设a为常数，试讨论方程的实根的个数。 解析：原方程等价于 即 构造函数和，作出它们的图像，易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况可得： ①当或时，原方程有一解； ②当时，原方程有两解； ③当或时，原方程无解 点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。 题型2：二次函数根的分布 例1、已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围。 解：由 或即为所求的范围。 例2、已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围。 解：由 即 即为所求的范围。 题型3：零点存在性定理 例1．若函数在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ） A．若，不存在实数使得； B．若，存在且只存在一个实数使得； C．若，有可能存在实数使得； D．若，有可能不存在实数使得； 解析：由零点存在性定理可知选项D不正确；对于选项B，可通过反例“在区间上满足，但其存在三个解”推翻；同时选项A可通过反例“在区间上满足，但其存在两个解”；选项D正确，见实例“在区间上满足，但其不存在实数解” 例2.（2011年全国新课标文数） (10)．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 解析：本题考查零点存在定理，只需验证端点值，凡端点值异号就是答案。故选C。 本节提升训练 一、基础练习 1、函数f(x)=2x+7的零点为 （ ） A、7 B、 C、 D、-7 2、方程的一个实数解的存在区间为 （ ） A、（0，1） B、（0，2） C、（1，2） D、（-1，1） 3、函数在区间（1，2）内的函数值为（ ） A、大于等于0 B、小于等于0 C、大于0 D、小于0 二、巩固练习 1、若函数唯一的零点在区间（1，3）、（1，4）、（1，5