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第五章 相似矩阵及二次型 §1 预备知识: 向量的内积 一、内积及其性质（大纲没有要求，但后面要涉及内积知识） 定义1 设有维向量 令 称为向量与的内积. 注:内积有时也记作. 内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数, 按矩阵的记法可表示为 二、向量的长度与性质（大纲没有要求，但后面有长度的记号） 定义2 令 称为维向量的长度(或范数). 当时, 称为单位向量. 对中的任一非零向量, 向量是一个单位向量, 因为 注: 用非零向量的长度去除向量,得到一个单位向量,这一过程通常称为把向量单位化. 三、正交向量组 若两向量与的内积等于零， 即 ， 则称向量与相互正交. 记作. 注: 显然,若, 则与任何向量都正交. 若维向量是一个非零向量组，且中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组. 定理1 若维向量是一组正交向量组，则线性无关. 例8 (E02) 已知三维向量空间中两个向量 正交，试求，使， 两两正交. 解 设且分别与正交.则 即 解之得 令 四、规范正交基及其求法 常采用正交向量组作向量空间的基，称为向量空间的正交基. 定义3 设维向量是向量空间的一个基,如果两两正交, 且都是单位向量, 则称是向量空间 EMBED Equation.3 的一个规范正交基(或标准正交基). 若是的一个规范正交基, 则中任一向量能由线性表示, 设表示式为 , 为求其中的系数可用左乘上式, 有 即 这就是向量在规范正交基中的坐标的计算公式.利用这个公式能方便地求得向量在规范正交基下的坐标为： 因此, 我们在给出向量空间的基时常常取规范正交基. 规范正交基的求法: 设是向量空间的一个基,要求的一个规范正交基, 也就是要找一组两两正交的单位向量,使与等价. 这样一个问题,称为把这个基规范正交化，可按如下两个步骤进行： (1) 正交化 容易验证两两正交,且与等价. 注: 上述过程称为施密特(Schimidt)正交化过程. 它满足:对任何, 向量组与等价. (2) 单位化: 取 则是的一个规范正交基. 注： 施密特(Schimidt)正交化过程可将中的任一组线性无关的向量组化为与之等价的正交组；再经过单位化，得到一组与等价的规范正交组 例6 (E01) 设 试用施密特正交化方法, 将向量组正交规范化. 解 不难证明是线性无关的.取 再把它们单位化，取 则即为所求. 例7 用施密特正交化方法，将向量组正交规范化 . 解 显然，是线性无关的.先正交化，取 再单位化，得规范正交向量如下 例3 已知试求一组非零向量，使， 两两正交. 解 应满足方程 即 它的基础解系为 ， 把基础解系正交化，即取，，求得 ， 五、正交矩阵与正交变换 定义4 若阶方阵满足 (即), 则称为正交矩阵, 简称正交阵. 为正交矩阵的充分必要条件是的列向量都是单位正交向量组. 注：由与等价,定理的结论对行向量也成立.即为正交矩阵的充分必要条件是的行向量都是单位正交向量组. 正交矩阵的个列（行）向量构成向量空间的一个规范正交基 例4 验证矩阵是正交矩阵 定义5 若为正交矩阵,则线性变换称为正交变换. 正交变换的性质：正交变换保持向量的长度不变. §2 矩阵的特征值与特征向量 一、特征值与特征向量 定义6 设是阶方阵, 如果数和维非零向量使 成立, 则称数为方阵的特征值, 非零向量称为的对应于特征值的特征向量（或称为的属于特征值的特征向量）. 注：1. 阶方阵的特征值，就是使齐次线性方程组 有非零解的值, 即满足方程的 EMBED Equation.3 都是矩阵的特征值. 称关于 EMBED Equation.3 的一元次方程为矩阵的特征方程，称 EMBED Equation.3 的一元次多项式为矩阵的特征多项式. 根据上述定义，即可给出特征向量的求法： 设为方阵的一个特征值，则由齐次线性方程组 可求得非零解，那么就是的对应于特征值的特征向量，且的对应于特征值的特征向量全体是方程组的全体非零解。即设为的基础解系，则的对应于特征值的特征向量全体是不同时. 例1 (E01) 求矩阵的特征值和特征向量. 解 矩阵的特征方程为 所以是矩阵的两个不同的特征值. 以代入与特征方程对应的齐次线性方程组，得 基础解系是 故是矩阵对应于的全部特征向量. 以代入与特征方程对应的齐次