第五章特点值和特点向量简版2010.8.doc

第五章 特征值和特征向量 历年试题分类统计及考点分布 考 考 点 分 值 年 份 特征值和特征向量的定义、性质及计算 相似矩阵的概念及性质、一般方阵的相似对角化 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 实对称矩阵的正交相似对角化 相似对角化的应用 其他 合计 87 88 8 8 89 8 8 90 91 92 4 3 7 93 94 95 4 3 7 96 97 3 3 6 98 3 3 99 8 3 11 00 5 3 8 01 02 8 8 03 10 10 04 9 9 05 4 4 06 4 5 9 07 4 3 4 11 08 4 4 09 4 4 10 4 4 合计 52 40 7 5 11 6 结构图 正交矩阵若 正交矩阵 若是正交阵，则(或)也是正交阵 若，是正交阵，则也是正交阵 若是正交阵，则 为正交阵的充要条件是的个列（行）向量构成的一个规范基 方阵对应于不同的特征值向量线性相关 相似矩阵 若与相似，则与也相似 若与相似，且，则与相似 若与相似，则 若与相似，则 若与相似，则，且有相同的特征值 若与相似的充要条件是具有个线性无关的特征向量 任给二次型，总有正交变换，使化为标准型 正定二次型的判定惯性定理 对称矩阵为正定的充要条件 实对称矩阵的特征值为实数 实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量正交 设为阶实对称矩阵，则必有正交矩阵，使 实对称矩阵 合同矩阵 若为对称矩阵，则亦为对称矩阵且 考点分析 1．特征值与特征向量的概念及计算式这部分试题的一个重点.利用定义可以推出特征值和特征向量的其它一些性质,例如由的特征值和特征向量可以推出以及的多项式的特征值和特征向量;对于带参数问题,常常通过比较定义式两端的对应分量建立方程,以便定出或中的待定参数及特征值.在方阵的全部特征值都已知时,利用这些特征值的乘积可求出该方阵的行列式. 2．方阵的相似对角化是这部分试题的另一重 点,这不仅是由于理论和应用上的需要,而且在判定能否对角化时,常常需要利用方阵可相似对角化的条件及齐次线性方程组飞基础解系等概念,在对角化的过程中,要求特征值(计算特征方程的根)和特征向量(求对应齐次线性方程组的基础解系),进行多种运算,所以,方阵的相似对角化,更应熟练掌握,因为用正交变换二次型为标准型(这是二次型中的基本问题之一)的实质就是用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵.方阵的相似对角化还可以用来计算的幂,以及利用为对角阵(在和已知时)反解出来. 大纲要求 考试内容 矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 相似变换、相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵 考试要求 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量。 理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法。 掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。 一．问题的提出 在解决工程技术问题中经常需要计算方阵的幂.当m很大时，直接计算的计算量很大，为了简化计算，可找一个可逆矩阵P使 则 而 为了找到上述的矩阵P，令 则即 于是 则 我们称为方阵的特征值，称为的属于的特征向量.如果能找到可逆矩阵P使，则称方阵可对角化.所以的可对角化问题就转化为是否可以找到n个线性无关的特征向量的问题. 二．特征值和特征向量定义，求法和性质 1.定义 若非零向量X满足，则称X是属于特征值的特征向量. 2.求法 满足 齐次组有非零解 (1) 解,求A的特征值 (2) 解齐次组，求其全部非零解. 3.特征多项式 是的全部阶主子式之和. (1) 的迹 (2) (3) 当时， 于是 ， 的特征值为 ， 4.性质 若是的属于的特征向量，则 也是，,，，, 属于，，，，， 的特征向量，其中是的多项式. (2) 若和都是的属于的特征向量，则当时，也是的属于的特征向量. (3) 设分别属于的特征向量.若则不是的特征向量. [证] 用反证法，若是 的特征向量，它所对应的特征值，则 由题设， 以上两式相减得 ，由于与线性无关，故有 ，这与假设矛盾！ (4)若，则为的一个特征值，且的基础解系即为属于的线性无关的特征向量. (5)若，则的全部特征值为零. (6) 和具有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量. 三．相似矩阵及其性质 定义 若存在可逆矩阵使 则称方阵与相似，记作 定理 相似关系具有反身性，对称性，传递性. 性质 如果，则有 (1) (2)（若、均可逆） (3) (4) (5)，从而、有相同的特征值.（但时，、不一定相似）（注意：与不一定可以对角化） (6) 从而、同时可逆或同时不可逆. (7) 四、矩阵可相似对角化的充要条件 定理1 阶方阵