第一章聚集2.doc

§3 中的开集，闭集和Borel集 一. 中的距离、邻域、区间 定义1 设X是一个集合，若对X中的任意两个元素x与y由一个确定的实数与之对应，记为 ,它满足下述三条性质： （1） ； （2） ； （3） （）， 则称在X中定义了距离d，并称(X,d)为距离空间. 定义2 设.任意, ，定义 . 容易证明对任何满足： （1） ； （2） ； （3） , 则d为与的距离，是一个距离空间，也称为n维欧氏空间. 定义3 设E是中点集，令 称为点集E的直径. 若＜∞，则称E为有界集. 显然，集合E是有界的充分必要条件是存在M＞0,使一切. 定义4 设 ，称 为以为中心，为半径的开球，记为；称 为以为中心，为半径的闭球，记；称 为以为中心，为半径的球面，记为. 特别地，在中， . 在中， 是以为中心,以为半径的圆;是以为中心,以为半径的闭圆； 是以为中心，以为半径的圆周. 定义5 设 均为实数，且,称点集 为中开区间. 类似地，分别称 为中闭区间及半开半闭区间，称 为区间的边长. 开区间、闭区间、半开半闭区间通称为区间. 区间常用符号等表示，其体积用等表示. 若，则 ， . 特别地，在中开区间是开矩形，闭区间是闭矩形，半开半闭区间是半开半闭矩形. 二．中开集 定义6 设集合，如果对任意，有，使，则称G为中开集 . 例1 在中空集、全空间和都是开集. 由定义可得. 思考题 在中开区间是否是中的开集？ 定理1 中开集构成的集族满足下述三条性质： （1）； （2）若 则 ； （3）若 则 , （称为上的一个拓扑，成为拓扑空间）. 证明 （1）因为 不包任何点，故它满足开集条件，即；对任意， 必有，所以. （2）不妨设.,则，,且,于是有 ， 使 ， . 记,则,从而. （3），必存在 使，所以使 ，故 . 思考题 若，是否有？ 定义7 （1）设，若G为中开集且，则称为的一个邻域. （2）设 ,如果存在 的一个邻域,使,则称为E的一个内点.E的内点全体作成的集合记为，称为E的内核.的内点称为E 外点. （3）如果，，在的任意邻域既含有E的点，又含有的点，则称为E的边界点，E的边界点全体作成的集合记为. 显然（1） ； （2） ； （3） ， 其中 互不相交. 例2 （1）为的一个邻域； （2）； （3）. 证明留给读者. 例3 （1）若 ，则，; （2）若（有理数集），则，. 证明 （1） 因为任意，对的任意邻域，故，且.又任意，有存在，使.取＞0，有，故. （2）的证明留作习题. 定理2 设，则 （1）为开集； （2）E为开集的充分必要条件是. 证明 （1）任意，根据的定义知，存在的邻域 ， 又为开集，对任意， 存在，即G中每一个元素都是E的内点，从而，所以为开集. （2）证明留作习题. 三．中闭集 定义8 设 .若存在使得 则称 为中收敛（于的）点列,的极限,记为 . 若, 则由不等式 可知 的充分必要条件是，对每个=1，2，…n，有 . 用极限的语言来描述为:充分必要条件是，对的任何邻域G,存在,当，. 定义9 设，如果对的任何邻域G，必有 则称为E的聚点或极限点.的聚点的全体称作E的导集，记为.称集合为E的闭包. 如果存在的某个领域使 ,则称为E的孤立点.若E中每一点都是孤立点，则称E为孤立点集. 例4（1） 若，则，,E中每一点都是孤立点，E为孤立点集.，. （2）设. （3）若为有限集，则为孤立点集. 由定义可知略. 思考题 若是可数集，任意是否为E的孤立点？E是否为孤立点集？是否为至多可数集？ 定理3 设, 则下列叙述等价： （1）为E的聚点； （2）； （3） 存在E中互异点列，使（或存在E中点列，使）； （4）对的任何领域G，它必含有E的无穷多个点. 证明 显然成立. 由条件可知，对，可取， ，由条件知可取，依次类推.对，取.由的取法知 为E中互异点列，且. 对的任何邻域G，存在，使.因为E中互异点列 ， 且 故存在，当时 ，即 . 从而G中含有E的无穷多个点. 显然成立. 由定理4容易看出，若，则E为无限集. 定理4 设，则 （1）； （2）. 仅证.若任意，存在，于是在x的任意邻域.从而，即. 若任意，则存在中互异点列，使.因为集合是无限集，而是有限个集合，故存在某个集合，及的子点列，于是，从而，即. 思考题 等式是否成立？ 例5 （1）若 ，则. （2）