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电磁场与电磁波习题谜底2
第二章
2-1 若真空中相距为d的两个电荷q1及q2的电量分别为q及4q,当点电荷位于q1及q2的连线上时,系统处于平衡状态,试求的大小及位置。
解 要使系统处于平衡状态,点电荷受到点电荷q1及q2的力应该大小相等,方向相反,即。那么,由,同时考虑到,求得
可见点电荷可以任意,但应位于点电荷q1和q2的连线上,且与点电荷相距。
习题图2-2
习题图2-2
z
x
E3
E2
E1
2-2 已知真空中有三个点电荷,其电量及位置分别为:
试求位于点的电场强度。
解 令分别为三个电电荷的位置到点的距离,则,,。
利用点电荷的场强公式,其中为点电荷q指向场点的单位矢量。那么,
在P点的场强大小为,方向为。
在P点的场强大小为,方向为。
在P点的场强大小为,方向为
则点的合成电场强度为
2-3 直接利用式(2-2-14)计算电偶极子的电场强度。
解 令点电荷位于坐标原点,为点电荷至场点P的距离。再令点电荷位于+坐标轴上,为点电荷至场点P的距离。两个点电荷相距为,场点P的坐标为(r,,?)。
根据叠加原理,电偶极子在场点P产生的电场为
考虑到r l,= er,,那么上式变为
式中
以为变量,并将在零点作泰勒展开。由于,略去高阶项后,得
利用球坐标系中的散度计算公式,求出电场强度为
2-4 已知真空中两个点电荷的电量均为C,相距为2cm, 如习题图2-4所示。试求:①P点的电位;②将电量为C的点电荷由无限远处缓慢地移至P点时,外力必须作的功。
??
?
?
1cm
P
1cm
q
q
1cm
习题图2-4
解 根据叠加原理,点的合成电位为
因此,将电量为的点电荷由无限远处缓慢地移到点,外力必须做的功为
2-5 通过电位计算有限长线电荷
的电场强度。
习题图2-5
习题图2-5
r0
P
z
o
dl
l
?1
?2
y解 建立圆柱坐标系。 令先电
y
荷沿z轴放置,由于结构以z轴对称,场强与无关。为了简单起见,令场点位于yz平面。
设线电荷的长度为,密度为
,线电荷的中点位于坐标原
点,场点的坐标为。
利用电位叠加原理,求得场点
的电位为
式中。故
因,可知电场强度的z分量为
电场强度的r分量为
式中,那么,合成电强为
当L??时,,则合成电场强度为
可见,这些结果与教材2-2节例4完全相同。
2-6 已知分布在半径为a的半圆周上的电荷线密度,试求圆心处的电场强度。
习题图2-6
习题图2-6
a
y
x
o
E
解 建立直角坐标,令线电荷位于xy平面,且以y轴为对称,如习题图2-6所示。那么,点电荷在圆心处产生的电场强度具有两个分量Ex和Ey。由于电荷分布以y轴为对称,因此,仅需考虑电场强度的分量,即
考虑到,代入上式求得合成电场强度为
2-7 已知真空中半径为a的圆环上均匀地分布的线电荷密度为,试求通过圆心的轴线上任一点的电位及电场强度。
习题图2-7x
习题图2-7
x
y
z
P
r
o
a
dl
y
解 建立直角坐标,令圆环位于坐标原点,如习题图2-7所示。那么,点电荷在z轴上点产生的电位为
根据叠加原理,圆环线电荷在点产生的合成电位为
因电场强度,则圆环线电荷在点产生的电场强度为
2-8 设宽度为W,面密度为的带状电荷位于真空中,
试求空间任一点的电场强度。
习题图2-8
习题图2-8
x
y
z
o
r
y
x
dx?
x?
(a)
(b)
P(x,y)
解 建立直角坐标,且令带状电荷位于xz平面内,如习题图2-8所示。带状电荷可划分为很多条宽度为的无限长线电荷,其线密度为。那么,该无限长线电荷产生的电场强度与坐标变量z无关,即
式中
得
那么
2-9 已知均匀分布的带电圆盘半径为a,面电荷密度
为,位于z = 0平面,且盘心与原点重合,试求圆盘
轴线上任一点电场强度。
习题图2-9
习题图2-9
o
x
y
z
r
dr
P(0,0,z)
解 如图 2-9所示,在圆盘上取一半径为,宽度为的圆环,该圆环具有的电荷量为。由于对称性,该圆环电荷在z轴上任一点P产生的电场强度仅的有分量。根据习题2-7结果,获知该圆环电荷在P产生的电场强度的分量为
那么,整个圆盘电荷在P产生的电场强度为
2-10 已知电荷密度为及的两块无限大面电荷分别位于x = 0及x = 1平面,试求及区域中的电场强度。
解 无限大平面电荷产生的场强分布一定是均匀的,其电场方向垂直于无限大平面,且分别指向两侧。因此,位于x = 0平面内的无限大面电荷,在x 0区域中产生的电场强度,在x 0区域中产生的电场强度。位于x = 1平面内的无限大面电荷,在x 1区域中产生的电场强度,在x 1区域中产生的电场强度。
由电场强度法向边界条件获知,
即
由此求得
根据叠加定理,各区域中的电场强度应为
2-1
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