对方领导数几个题目标商量2.docVIP

对方向导数几个问题的探讨 作者：郑冉 指导老师：马宗立 摘 要 方向导数是多元函数微积分中的一个基本概念, 本文介绍了不同元函数的方向导数的定义以及方向导数在数学领域尤其是方程领域的重要应用. 这里面有个关键的问题是方向导数在目前的教材中存在不同的定义, 而在不同的定义下, 偏导数与方向导数的关系也不尽相同. 本文主要探讨了方向导数与偏导数、连续的关系, 以及用方向导数求函数极值. 关键词 方向导数 偏导数 连续 函数极值 1 引言 方向导数在数学领域占有重要地位, 如果对关于方向导数的几个问题没有搞清, 在解决数学问题时, 就可能出现这样那样的问题, 因此对方向导数的定义、方向导数与偏导数的关系、方向导数与连续的关系、用方向导数解决函数极值等相关问题的探讨具有极其重要的意义. 2 方向导数的定义 2.1 一元函数方向导数的定义 定义1 设函数在点的某邻域内有定义 , , 令, 若存在, 称此极限为函数在点沿方向的方向导数, 记作. 一元函数在点的方向导数只有两种情况, 当时, 是轴负向, =；当时, 是轴正向, . 2.2 二元函数方向导数的定义 定义2 设函数在点的某一邻域内有定义, 自点引有向直线, 轴正向与直线夹角为, 在上任取一点, 若沿着趋近于时, 即当时, 极限 存在则称此极限值为函数在点沿着方向的方向导数．记作： 定义3 设是面上以为始点的一条射线, 是与同方向的单位向量, 为上的另一点, , 若极限存在, 则称此极限为函数在点沿着 方向的方向导数, 记作：. 定义4 设是面上以为始点的一条射线, 是与同方向的单位向量, 为上的另一点, , 若极限存在, 则称此极限为函数在点沿着 方向的方向导数, 记作：. 以上两个定义的主要区别是还是, 由此产生了偏导数与方向导数的不同关系. 2.3 三元函数方向导数的定义 定义5 三元函数在空间一点沿方向 (设方向的方向角为)的方向导数, 定义为 ． 其中, ． 若函数在点可微分, 则在该点方向导数计算公式为 其中是与同方向的单位向量． 例1求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数． 解 因为, , 所以, 而且, , 于是 , 从而 ． 3 方向导数与偏导数的关系 3.1二元函数定义2下偏导数与方向导数的关系 定理1 若函数在点可微分, 那么函数在点沿任一方向的方向导数都存在, 且有计算公式 ． 其中为轴到方向的转角, 是与同方向的单位向量． 证明：因为函数在点可微分, 所以有 , 上式两边同除以, 得 , 则 例2．求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数． 解 这里方向即向量的方向, 因此轴到方向的转角, 又因为, , 所以在点处, , , 于是方向导数为 ． 另一方法． 例3. 设由原点到点的向径为, 轴到的转角为, 轴到射线的转角为, 求, 其中． 解 因为, 所以, 讨论：当时, ,即沿着向径本身方向的方向导数为1, 当时, ,即沿着与向径垂直的方向导数为零． 3.2二元函数定义3下偏导数与方向导数的关系 3.2.1 函数在点沿任何方向的方向导数都存在, 但偏导数未必存在. 例4. 令, 则= 在点沿任何方向的方向导数存在, 但 在点关于偏导数不存在. 3.2.2 函数在点的偏导数存在, , 则；又若, 则, 但在点沿任何其它方向的方向导数未必存在. 事实上, 这时若, 有 又, 有 如果, 这时易得. 设 易得, 当时, 以上极限不存在, 即方向导数不存在. 3.3 二元函数定义4下方向导数与偏导数的关系 这里本质上把偏导数看成是方向导数的特例 3.3.1 设函数在点的某邻域内有定义, , . 若方向导数, 存在, 则有, . 事实上, 这时 同样易证也成立 对于3.2.2中的结论在这里也成立. 3.3.2 设函数在点的偏导数存在, , , 则有, 但这时在点处沿任何其它方向的方向导数未必存在, 其理由与前面基本相同. 从以上讨论可知道, 偏导数与方向导数的关系因方向导数的不同定义而出现不同的差异, 这是在学习相关内容时应注意的一个问题. 4 方向导数与连续的关系 4.1二元函数在某点连续不能保证方向导数存在 例6 则, 即函数在点处连续．即函数在点处沿任意方向导数均不存在． 上面的例子说明函数在某点连续, 不能保证这个函数在该点的方向导数存在. 4.2函数在某点处的方向导数存在也不能保证二元函数在该点处是连续的． 例7