二次函数与几何图形联合题及谜底.docVIP

1.如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标; （2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积; （3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由． 解：（1）令，得 解得 令，得 ∴ A B C ……………………3分 （2）∵OA=OB=OC= ∴BAC=ACO=BCO= ∵AP∥CB， ∴PAB= 过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形 令OE=，则PE= ∴P ∵点P在抛物线上 ∴ 解得，（不合题意，舍去） ∴PE=……………………………………………………………………………5分 ∴四边形ACBP的面积=AB?OC+AB?PE=………………………………6分 (3)． 假设存在 ∵PAB=BAC = ∴PAAC GMCByPA∵MG轴于点G， ∴MGA=PAC = G M C B y P A 在Rt△AOC中，OA=OC= ∴AC= 在Rt△PAE中，AE=PE= ∴AP= ………8分 设M点的横坐标为，则M ①点M在轴左侧时，则 (ⅰ) 当AMG PCA时，有= ∵AG=，MG=即 解得（舍去） （舍去）………9分 (ⅱ) 当MAG PCA时有= 即 解得：（舍去） ∴M ………………………………………………………………………10分 ② 点M在轴右侧时，则 (ⅰ) 当AMG PCA时有= GMCByPA∵A G M C B y P A ∴ 解得（舍去） ∴M ………………………11分 (ⅱ) 当MAGPCA时有= 即 解得：（舍去） ∴M ………………………………12分 ∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似 M点的坐标为，，…………………………………13分 2.如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D． （1）求b,c的值； （2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由. 解：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5）…………………1分 ∵二次函数的图像经过点A（-1，0）B(4,5) ∴…………………………………………………2分 解得：b=-2 c=-3…………………………………………………3分 （2）如２６题图：∵直线AB经过点A（-1，0） B(4,5) ∴直线AB的解析式为：y=x+1……………………………………4分 ∵二次函数 ∴设点E(t， t+1),则F（t，）………………………5分 ∴EF= ………………………………………6分 　　= ∴当时，EF的最大值= ∴点E的坐标为（，）………………………………7分 （3）①如２６题图：顺次连接点E、B、F、D得四边形ＥＢＦＤ． 可求出点F的坐标（，）,点D的坐标为（1，-4） S　=　S　+　S = ２６题备用图 = 　………………………………………………10分 ２６题备用图 ②如２６题备用图：ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,) 则有： 解得:, ∴,　 ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于，设（n，） 则有： 　　解得： ，（与点F重合，舍去） ∴ 综上所述：所有点P的坐标：，（. 能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．…………………………………… 13分 3.如图,已知二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点P，顶点为C（1，－2）. （1）求此函数的关系式； （2）作点C关于轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D.若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由. （1）∵的顶点为C（1，－2）， ∴，． ……………2分 （2）设直线PE对应的函数关系式为 由题意，四边形ACBD是菱形. 故直线PE必过菱形ACBD的对称中心M． ………3分 由P(0，－1)，M（1，0），得．从而，