二阶非齐次线性微分方程的解法研究.docVIP

引言 数学分析中所研究的函数，就是指自变量与因变量之间的一种关系。但在实际问题中，往往很难找到自变量与因变量之间的直接联系（即函数关系），反而比较容易从其变化过程中求出自变量，因变量及它们的导数或微分的关系式。这种联系着自变量、未知函数及它们的导数或微分的关系式，称之为微分方程。 微分方程特别是线性微分方程在实际问题中有着广泛的应用。本文除简洁介绍n阶线性微分方程的主要基本理论外，着重对二阶常系数线性微分方程的解法进行研究。 1 线性微分方程的基本理论与初等解法 1.1 基本理论 （1.1） （1.2） 方程（1.1）称为n阶非齐次线性微分方程，方程（1.2）称为n阶齐次线性微分方程。 下面给出方程（1.1）和（1.2）的解的性质和结构。 定理1（齐线性方程解的叠加原理） 如果是方程（1.2）的n个解，则它们的线性组合也是方程（1.2）的解。其中是任意的常数。 定理2（（1.2）的通解结构定理） 如果是方程（1.2）的n个线性无关的解，则方程（1.2）的通解可表示为： （1.3） 其中是任意的常数，且（1.3）包括了方程（1.2）的所有解。 定理3（非齐线性方程解的叠加原理）如果是方程的解，而是方程的解，则也是方程的解。 定理4（（1.1）的通解结构定理） 如果是方程（1.2）的基本解组，而是方程（1.1）的某一解，则方程（1.1）的通解可表示为： （1.4） 其中是任意的常数，且（1.4）包括了方程（1.1）的所有解。 1.2 初等解法 假设方程（1.1）和（1.2）中的所有系数都是常数，即 （1.5） （1.6） 方程（1.5）称为n阶常系数非齐次线性方程，方程（1.6）称为n阶常系数齐次线性方程。 1.2.1 齐线性方程的初等解法 ① 常系数齐线性方程 对于常系数齐线性方程（1.6）的求解，关键在于找出它的基本解组，即n个线性无关解。参照一阶常系数齐线性方程的求解，对于方程（1.6）我们也试求其形如x=的解，其中为待定常数，将其代入方程（1.6）得： 由于对于t，都有，则： （1.7） 式（1.7）称为方程（1.6）的特征方程。而方程（1.6）的解的形式将由式（1.7）的特征根决定。这就是所谓的欧拉待定指数函数法。 例1. 求解方程 解：特征方程 特征根 故所求通解为，其中为任意常数 例2. 求解方程 解：特征方程 特征根 （二重根） 故所求通解为, 其中为任意常数 ② 欧拉方程 所谓欧拉方程就是指如下特殊的变系数方程： （1.8） 经变换，则： （1.9） 方程（1.9）有形如y=的解，则方程（1.8）有形如的解，将代入（1.8），得特征方程： （1.10） 至此，对于方程（1.8）的求解方法可参照方程（1.6）的求解 1.2.2 非齐线性方程的初等解法 ① 常数变易法 在求解一阶非齐线性方程的通解时，我们使用了常数变易法，这一方法同样适用于求解非齐线性方程（1.1）。其具体方法与步骤如下： 1）写出方程（1.2）的通解： 2）常数变易，即令 （1.11） 3）把（1.11）及其一阶到n阶导数（在附加了n-1个条件 ）代入方程（1.1）,可得 个确定的方程组（A）： （A） 解方程组（A）得, 4）逐个积分，得 5）写出方程（1.1）的通解： =, 为任意常数 例3. 求方程于域的通解 解：对应齐线性方程 解之得 ，A，B为任意常数 易知基本解组为 1， 原方程可改写为 (*) 则运用常数变易法，令代入上式(*)得 解得 故原方程的通解为 为任意常数 ② 比较系数法 现在讨论常系数非齐线性方程（1.5） （1.5） 的求特解问题 事实上，当方程（1.5）的非齐次项具有某些特殊形状时，可采用一种简便有效的求特解方法————比较系数法。 类型 设，其中及为实常数，那么方程（1.5）有特解：，其中k为特征根的重数，而为待定常数，可通过比较系数法来确定。 类型 设，其中为常数，为带实系数的m次 （或不超过m次）多项式，则方程（1.5）有特解：， 其中k为特征根的重数,而为待定的带实系数的m次多