复变函数论 第一章 双数与复变函数.docVIP

引言 复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月．复数是世纪人们在解代数方程时引入的． 年，意大利数学物理学家（卡丹）在所著《重要的艺术》一书中列出将分成两部分，使其积为的问题，即求方程的根，它求出形式的根为 和，积为． 但由于这只是单纯从形式上推广而来引进，并且人民原先就已断言负数开平方是没有意义的．因而复数在历史上长期不能为人民所接受．“虚数”这一名词就恰好反映了这一点． 直到十八世纪，（达朗贝尔）：（欧拉）等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人民终于接受并理解了复数． 复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕（柯西），（魏尔斯特拉斯）和（黎曼）三人的工作进行的． 到本世纪，复变函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域的不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）及数学的其它分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）中，复变函数论都有着重要应用． 第一章 §1 复数 教学目的与要求：了解复数的概念及复数的模与辐角； 掌握复数的代数运算复数的乘积与商﹑幂与根运算. 重点：德摩弗公式. 难点：德摩弗公式. 课时：2学时. 1． 复数域 　　形如或的数，称为复数，其中和均是实数，称为复数的实部和虚部，记为，　，称为虚单位． 两个复数，与相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即且虚部为零的复数可看作实数，即，特别地，，因此，全体实数是全体复数的一部分． 实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数和称为互为共轭复数，记为 　　或　 设复数，，则复数四则运算规定： 容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律． 全体复数并引进上述运算后称为复数域，必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大小的． ２．复平面 从上述复数的定义中可以看出，一个复数实际上是由一对有序实数唯一确定．因此，如果我们把平面上的点与复数对应，就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系． 由于轴上的点和轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数，因而通常称轴为实轴，称轴为虚轴，这样表示复数的平面称为复平面或平面． 引进复平面后，我们在“数”与“点”之间建立了一一对应关系，为了方便起见，今后我们就不再区分“数”和“点”及“数集”和“点集”． 3．复数的模与幅角 由图1.1中可以知道，复数与从原点到点所引的向量也构成一一对应关系（复数对应零向量）．从而，我们能够借助于点的极坐标和来确定点，向量的长度称为复数的模，记为图1.1 显然，对于任意复数均有，， 另外，根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式 （三角形两边之和第三边，图1.2） 图1.2 （三角形两边之差第三边，图1.3） 图1.3 与两式中等号成立的几何意义是：复数，分别与及所表示的三个向量共线且同向． 向量与实轴正向间的夹角满足称为复数的幅角，记为 由于任一非零复数均有无穷多个幅角，若以表示其中的一个特定值，并称满足条件 的一个值为的主角或的主幅角，则有 注意：当时，其模为零，幅角无意义． 从直角坐标与极坐标的关系，我们还可以用复数的模与幅角来表示非零复数，即有 同时我们引进著名的欧拉公式： 则可化为 与式分别称为非零复数的三角形式和指数形式，由式几指数性质即可推得复数的乘除有 因此 ， 公式与说明：两个复数，的乘积（或商），其模等于这两个复数模的乘积（或商），其幅角等于这两个复数幅角的和（或差）． 特别当时可得 此即说明单位复数乘任何数，几何上相当于将此数所对应的向量旋转一个角度． 另外，也可把公式中的换成（某个特定值），若为主值时，则公式两端允许相差的整数倍，即有 公式可推广到有限个复数的情况，特别地，当时，有 当时，就得到熟知的德摩弗公式： 例求及用与表示的式子 解： 4.曲线的复数方程 例连接及两点的线段的参数方程为 过及两点的直线（图 ）的参数方程为 例 平面上以原点为心，为半径的圆周的方程为 平面上以为心，为半径的圆周的方程为 例 平面上实轴的方程为，虚轴的方程为. 作业:第42页 2,3,4 § 复平面上的点集 教学目的