概率论课后题目谜底.doc

11．从（0，1）中随机取两个数，求下列事件的概率；（1）两数之和小于；（2）两数之积小于。 解 （此系几何概型问题）设两数之和小于的事件为，两数之积小于的事件为。 如下图，样本空间为单位正方形区域，事件为区域C，事件为区域D，于是 的面积/的面积/= 的面积/的面积 1 1 D 1 1 D 1 C 1 C D O 1 O O 1 14．设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份，7份和5份，随机地取一个地区，从该地区报名表中抽取1份，求抽到的1份是女生报名表的概率。 解 此系条件概率问题。 设表示“抽到第个地区”，B表示“抽到的是女生报名表”。则据全概率公式，所求概率为 15．三个箱子，第一个箱中有4个黑球，1个白球，第二个箱中有3个黑球，3个白球，第三个箱中有3个黑球，5个白球，现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球。（1）求这个球为白球的概率；（2）已知取出的球是白球，求此球属于第二个箱子的概率。 解 此系条件概率问题。 设表示“抽到第个箱子”，B表示“取出的是白球”。则所求概率分别为和。据全概率公式，有 而由贝叶斯公式可得 17．设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车，轮船，汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别为1/4，1/3， 1/2。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大。 解 此系条件概率问题。 设分别表示此人乘火车，轮船，汽车或飞机来的事件，表示此人迟到的事件，则依题意要计算、和，并进行比较。据已知有 ，，， ，，， 据全概率公式，有 而据贝叶斯公式，有 上述三个条件概率分别为此人在迟到的条件下乘火车，轮船，汽车的概率，不难看出这时他乘火车的可能性最大。 19．有甲乙两批种子，发芽率分别是0.8和0.7，在这两批种子中各随机抽取一粒，求：（1）两粒都发芽的概率；（2）至少有一粒发芽的概率；（3）恰好有一粒发芽的概率。 解 此系事件的独立性问题。 设表示“从甲（乙）批抽取的种子发芽”，据已知：，。 则依事件的独立性，有 （1）两粒都发芽的概率为： （2）至少有一粒发芽的概率为： （3）恰好有一粒发芽的概率为： 21．一实习生用同一机器接连独立制造3个同种零件，第个零件是不合格品的概率，求他制造的3个零件中恰好有2个合格的概率。 解 此系事件的独立性问题。设表示“第个零件是合格品” ，表示所求概率的事件。则 已知，于是所求概率为 22．设甲乙两篮球运动员投篮命中率分别为0.7和0.6，若每人投篮3次，求两人进球数相等的概率。 解 此系重贝努里试验概型问题。 设表示“甲篮球运动员投进个球”，表示“乙篮球运动员投进个球” ，则所求概率为。因为两两互不相容，且与相互独立，所以有 应用二项概率公式有 分别计算，得 于是所求概率为 26．袋中有只正品硬币，只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投次，已知每次均得到国徽，问这只硬币是正品的概率是多少？ 解 此系重贝努里试验概型和条件概率问题。 设表示“在袋中取出的硬币是正品”，表示“取出的硬币投次，每次均得到国徽”，则所求概率为。据全概率公式，有 于是 27．证明题：（1）如果，求证事件与互相独立；（2）设事件发生则事件一定发生，求证。 证 （1）由，可得 或 即 化简，即得 所以事件与互相独立。 （2）已知事件发生则事件一定发生，即，于是，从而 因为，故有 证毕。 第二章 5．某射手有5发子弹，射一次，命中率为0.9，若命中就停止射击，若未命中就一直射到子弹用尽，求耗用子弹数的分布列。 解 由题设的所有可能取值为1，2，3，4，5，而由条件概率可得 即 ， ， ， 而由全概率公式得 所以的分布列为 1 2 3 4 5 10．设随机变量的概率密度为 （1）求系数；（2）求分布函数；（3）画出与的图形进行比较。