功效关系及能量专题演习.docVIP

1.如图所示，半径为R圆心为O的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上。一根轻质长绳穿过两个小圆环，它的两端都系上质为的重物。忽略小圆环的大小。 （1）将两个小圆环固定在圆环竖直对称轴的两侧θ＝30°的位置上（如图）。在两个小圆环间绳子的中点C处，挂上一个质量M=的重物，使两个小圆环间的绳子水平，然后无初速释放重物M。设绳子与大、小圆环间的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距离。 （2）若不挂重物M，小圆环可以在大圆环上自由移动，且绳子与大、小圆环间及大、小圆环之间的摩擦均可能忽略，问两个小圆环分别在哪些位置时，系统可处于平衡状态？ 解：（1）重物向上先做加速运动，后做减速运动，当重物速度为零时，下降的距离最大。设下降的最大距离为，由机械能守恒定律得 解得 （另解=0舍去） （2）系统处于平衡状态时，两小环的可能位置为 a. 两小环同时位于大圆环的底端。 b. 两小环同时位于大圆环的顶端。 c. 两小环一个位于大圆环的顶端，另一个位于大圆环的底端。 d. 除上述三种情况外，根据对称性可知，系统如能平衡，则两小圆环的位置一定关于大圆环竖直对称，设平衡时，两小圆环在大圆环竖直对称轴两侧α角的位置上（如图所示）。 对于重物，受绳子拉力T与重力mg作用，有 T=mg 对于小圆环，受到三个力的作用，水平绳子的拉力T、竖直绳子的拉力T、大圆环的支持力N。两绳子的拉力沿大圆环切向的分力大小相等，方向相反 得，而=90°，所以α=45° 2．质量为M的圆环用细线（质量不计）悬挂着，将两个质量均为m的有孔小珠套在此环上，且可以在环上做无摩擦的滑动，如图所示，今同时将两个小珠从环的顶部释放，并沿相反方向自由滑下，试求： （1）在圆环不动的条件下，悬线中的张力T随cosθ变化的函数关系，并求出张力T的极小值及相应的角θ； （2）小球与圆环的质量比至少为多大时圆环才有可能上升？ 解：（1）每个小珠受重力mg和支持力N作用，小珠在θ处有： 机械能守恒： 得： 对环分析得： 即： 当（即）时： （2）由上面得到的N的表达式知，当时，N＞0，为压力；只有当时，N＜0，为拉力，这是圆环上升的必要条件。圆环上升的条件是T≤0，即： 临界状态为 上式有实根的条件为 θCmBO1mAO23.如图所示，一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O1、O2和质量mB=m的小球连接，另一端与套在光滑直杆上质量mA=m的小物块连接，已知直杆两端固定，与两定滑轮在同一竖直平面内，与水平面的夹角θ=60°，直杆上C点与两定滑轮均在同一高度，C点到定滑轮O θ C mB O1 mA O2 （1）小球下降到最低点时，小物块的机械能（取C点所在的水平面为参考平面）； （2）小物块能下滑的最大距离； （3）小物块在下滑距离为L时的速度大小． 解：（1）设此时小物块的机械能为E1．由机械能守恒定律得 （2）设小物块能下滑的最大距离为sm，由机械能守恒定律有 而 代入解得 ； （3）设小物块下滑距离为L时的速度大小为v，此时小球的速度大小为vB，则 解得 4.如图16所示,在同一竖直平面内两正对着的相同半圆光滑轨道，相隔一定的距离，虚线沿竖直方向，一小球能在其间运动，今在最低点与最高点各放一个压力传感器，测试小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来，当轨道距离变化时，测得两点压力差与距离的图象如右下图所示。（不计空气阻力，g 取m/s2）求： 图16 图16 （2）相同半圆光滑轨道的半径； （3）若小球在最低点B的速度为20m/s，为使 小球能沿光滑轨道运动，的最大值。 解：（1）设轨道半径为R，由机械能守恒定律： ① 在B点： ② 在A点： ③ 由①②③式得：两点的压力差， ④ 由图象得：截距，得 ⑤ （2）由④式可知：因为图线的斜率 所以 ⑥ （3）在A点不脱离的条件为： ⑦ 由①⑥⑦三式和题中所给已知条件解得： ⑧ 5、如图所示，质量分别为2m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴。AO、BO的长分别为2L和L。开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方。让该系统由静止开始自由转动，求：（1）当A到达最低点时，A小球的速度大小v；（2）B球能上升的最大高度 解：直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒。? （1）过程中A的重力势能减少，A、B的动能和B的重力势能增加，A的即时速度总是B的倍。， 解得 （2）B球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零， 设该位置比OA竖直位置向左偏了角。 ， 此式可化简为， 利用三角公