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我“思”我“解”——“果圆”初探 内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学：王霁婷 指导教师：张　红 关键词：果圆 椭圆 内接矩形 焦点三角形 特殊内接三角形 背 景：我在翻阅07数学高考题时发现了一道有趣的题目，更被它图形的美感深深吸引，它是一道关于“果圆”的题。于是我就着手从“果圆”的定义、性质以及题目的拓展方面进行研究。 框架： 共焦椭圆二、性质果圆 共焦椭圆 二、性质 果圆 （一、定义） 三、对果圆内特殊 多边形的研究 2.1范围 2.2对称性 2.3顶点 2.4面积 3.1 焦点三角形的形状 3.2 内接矩形的最大值 3.3 特殊内接三角形面积的最大值 四、对高考题的研究 4.1 原题解法 4.2 拓展 中点 定比分点 五、图形变换之美 由果圆变换出的美丽图形展示 一、“果圆”的定义：由半椭圆（≥0）与半椭圆（≤0）合成的曲线称作“果圆”。其中，，。如图（a） 二、“果圆”的简单几何性质 2.1 范围 由标准方程可知 即 2.2 对称性 在曲线方程里，以代替，方程仍为 不变，所以曲线关于轴对称。同时由定义域不对称可知果圆关于轴和原点不对称。 2.3 顶点 如图（b） 2.3.1 定义：果圆和轴，轴的交点，叫做果圆的顶点。 2.3.2 顶点坐标： 2.4 面积 由椭圆的面积可知 三、对果圆内特殊多边形的研究 3.1 对焦点三角形形状的研究 （、、之间的关系及右椭圆的离心率）。 果圆焦点三角形的定义：由右椭圆（）的焦点和左椭圆（）的焦点F1、F2确定的三角形叫做果圆的焦点三角形，如图（c）。 3.1.1. 当为等边三角形时， 则 又∵ ∴有或，此时右椭圆离心率。 3.1.2. 当为直角三角形时，。 则，又∵ ∴有或，此时右椭圆离心率。 3.1.3. 当为锐角三角形时， 则 又∵ 所以有，此时右椭圆离心率。 3.1.4 当为钝角三角形时 则 又∵ 所以，此时右椭圆离心率。 3.2. 果圆内矩形面积的最大值，如图（d） 果圆内接矩形的定义：由果圆的对称性可知，其内接矩形为， 构成的矩形，要求其面积的最大值，我们不妨设矩形的四个顶点A、B、C、D中A、B分别为 ，， 则== 所以当，时，S最得最大值，。 3.3. 果圆内特殊内接三角形的面积最值 果圆的形状十分特殊，那我们不妨讨论一下其特殊内接三角形面积的最值。设此特殊三角形一顶点为果圆的左顶点，另两个顶点为与果圆的交点。如图（e）所示 则B点坐标为， ， 从而 则 所以当，时，S取得最大值，，即果圆内接矩形最大面积的。 四、对07上海高考题21题的拓展 原题：我们把由半椭圆 （）与半椭圆（）合成的曲线称作“果圆”。其中，，如图（f），点是相应椭圆的焦点，、和、分别是“果圆”与、轴的交点。 （1）若是边长为1的等边三角形，求果圆的方程。 （2）当时，求的取值范围。 （3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦，试研究：是否存在实数k，使斜率为k的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的k值；若不存在，说明理由。 4.1. 解法 解：（1）由 ∴果圆的方程为 （2） ， ∴由，得，又∴，。 （3）设“果圆”的方程为（），（） 记平行弦的斜率为。 1°当=0时，直线与半椭圆（）的交点是，与半椭圆（）的交点是， ∴、的中点满足 得，∵ ∴ 综上所述当时，“果圆”弦中点的轨迹落在椭圆（）上。如图（g） 2°当时，以为斜率过的直线与椭圆（）的交点是，由此在直线右侧以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一个椭圆上。如图（h） 3°当时，可类讨论得平行弦中点不都在某一个椭圆上。 4.2. 拓展 4.2.1 这道高考题研究的是平行弦中点的轨迹，由原解可知，当k=0时，轨迹落在某个椭圆上。那我们就来研究一下，当点分平行弦所成的比为时，轨迹是否仍在某个椭圆上。 引申1：当k=0，分平行弦所成的比为2时，求M点的轨迹是否能落在某一个椭圆上。 探究1：设“果圆”的方程为（），（），设平行弦的斜率为。当时直线与半椭圆（）的交点也仍为与半椭圆（）的交点仍为，所以当分线段所成的比为2时，M的轨迹应满足 得。 而显然不为0，∴当时M分“果圆”平行弦所成的比为2时，M的轨迹落在椭圆上。如图（i） 引申2：因上述探究结果很特殊，所以我们直接推广到当k=0时，点M分平行弦所成比为时，求M点的轨迹是否总落在某一椭圆上。 探究2：设果圆的方程为，（） 设平行弦的斜率为。当时，直线与半椭圆（）的交点,与半椭圆的交点是，所以当分平