江西程峰《当点在直角梯形上运动》修改稿.doc

当点在直角梯形上运动 江西省彭泽县杨梓中学（332713） 程峰 笔者发现2010年中考数学试题中多次出现以直角梯形为背景的问题，而双动点在梯形上运动使这类问题成为亮点，下面笔者采撷几道试题加以解析，从中体会这类试题的特点。 1 双动点牵出等边三角形 例1 如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）. （1）△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______； （2）若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求 ①当0＜x≤2时y与x之间的函数关系式； ②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式； ⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值. 图1 分析 (1)由题意可知EF的长为E点移动距离为x,由此可以发现当x＝2时，点G的位置在D点;(2)①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部,重叠部分为△EFG; ②当2＜x＜3时，如图2，点E、点F在线段BC上，△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM;当3≤x≤6时，如图3，点E在线段BC上，点F在射线CH上,△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP;(3)在三个取值范围内,分别求出其最大值,再进行比较,确定出最大值. 解 ⑴ x，D点； ⑵ ①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y＝x2； ②分两种情况： Ⅰ.当2＜x＜3时，如图2，点E、点F在线段BC上，△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，因为∠FNC＝∠FCN＝30°,所以FN＝FC＝6－2x.所以GN＝3x－6. 由于在Rt△NMG中，∠G＝60°， 所以，此时 y＝x2－（3x－6）2＝. Ⅱ.当3≤x≤6时，如图3，点E在线段BC上，点F在射线CH上， △EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP， 因为EC＝6－x, 所以y＝（6－x）2＝. ⑶当0＜x≤2时，因为y＝x2在x＞0时，y随x增大而增大， 所以x＝2时，y最大＝； 当2＜x＜3时，因为y＝在x＝时，y最大＝； 当3≤x≤6时，因为y＝在x＜6时，y随x增大而减小， 所以x＝3时，y最大＝. 综上所述：当x＝时，y最大＝. 点评 本题主要考查图形的平移、多边形面积的计算、二次函数等知识,同时考查函数、分类讨论等数学思想和运动的观念,以及综合运用知识解决问题的能力.具有明显的区分度.具有很强的选拔功能 2 双动点牵出等腰三角形 例2 如图4，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC ，AD＝2，AB＝8，CD＝10． (1)求梯形ABCD的周长； (2)动点P从点B出发，以1cm/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿C→D→A方向向点A运动；过点Q作QF⊥BC于点F．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问： ①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由. ②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． 图4 分析 (1)容易想到作直角梯形底边上的高,应用勾股定理间接计算底边BC长从而得到梯形周长;(2) ①两点运动t秒,BP=CQ=t,得方程t+t+8=梯形周长的一半,计算出t值; ②分点P在AB,AD,DC上三种情况分别讨论. 解 （1）梯形ABCD的周长= 28 提示：如图5过点D作DE⊥BC于点E （2） ① 当t=3时，PQ平分梯形ABCD的周长. （过程略） ②（i）当0≤t≤8时，过点Q 作QG⊥AB于点G ∵AP=8-t，DQ=10-t，AD=2，sinC=，cosC= ∴CF=，QF=，PG==，QG=8- =（8-t）2+22=t2+16t+68， PQ2=QG2+PG2=（8-）2+（）2= 若DQ=PD，则（10-t）2= t2+16t+68，解得：t=8； 图5 若DQ=PQ，则（10-t）2=， 解得：t1= ，t2=＞8（舍去），此时t=； （ii）当8＜t＜10时，PD=DQ=10-t， ∴此时以DQ为一腰的等腰△DP