2012江苏高考数学试卷及答案解析word版.docx

绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。参考公式：棱锥的体积，其中为底面积，为高。填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．已知集合，，则 ▲ ．答案：某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生．答案：设，（i为虚数单位），则的值为 ▲ ．答案：（第4题）右图是一个算法流程图，则输出的的值是 ▲ ．答案：函数的定义域为 ▲ ．答案：现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ．答案：如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为 ▲ ．DABCDABC答案：（第7题）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 ▲ ．答案：ABCEFD如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ▲ ．答案：（第9题）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中．若，则的值为 ▲ ．答案：设为锐角，若，则的值为 ▲ ．答案：在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是 ▲ ．答案：已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 ▲ ．答案：已知正数满足：则的取值范围是 ▲ ．答案：解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（本小题满分14分）在中，已知．求证：；若求的值．解：（1）∵∴∴由正弦定理得：∴∴（2）∵，且∴∴∴又∵∴∴或∵∴，必为锐角，否则，同时为钝角，这与三角形的内角和小于矛盾∴∴∴（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点D 不同于点C），且为的中点．求证：平面平面；直线平面．证明：（1）∵三棱柱是直三棱柱∴∵∴∵，且∴∵∴（2）∵，∴∵直三棱柱中，∴∴是的中点∵是的中点∴，且∴四边形是平行四边形∴∵，∴平面（本小题满分14分）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．求炮的最大射程；x（千米）y（千米）O（第17题）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解：（1）∵炮位于坐标原点，炮弹发射后的轨迹方程为，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标∴令，则炮的射程可表示为∴炮的最大射程即的最大值由题意得，∴，当且仅当时，等号成立∴炮的最大射程是。（2）∵飞行物在第一象限内，其飞行高度为3.2千米，横坐标为a∴飞行物的坐标为∴炮弹可以击中它，即飞行物的坐标满足炮弹的轨迹方程∴将飞行物坐标带入炮弹的轨迹方程得：∴关于的方程在上有解∴有正根∵∴只需∴即只需要不超过即可。（本小题满分16分）已知a，b是实数，1和是函数的两个极值点．求a和b的值；设函数的导函数，求的极值点；设，其中，求函数的零点个数．解：（1）∵1和是函数的两个极值点∴1和是方程的两个根由韦达定理得，∴，（2）∵函数的导函数∴令解得，①当时，，当时，，∴不是的极值点②当时，，当时，，∴是的极大值点（3）令，则讨论关于的方程的根的情况当时，由（2）得的两个不同的根为和，注意到是奇函数，所以的两个不同的根为和。当时，因为，所以都不是的根，由（1）知当时，，于是是单调递增函数，从而，此时无实根，同理，在上无实根。当时，，于是是单调递增函数，又，，的图像不间断，所以在内有唯一实根，同理，在内有唯一实根。当时，，故是单调减函数，又，，的图像不间断，所以在内有唯一实根。由上可知，当时，有两个不同的根，满足，；当时，有三个不同的根，，满足；现考虑函数的零点：当时，有两个根满足，，而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5个零点；当时，有三个不同的根满足，而有三个不同的根，故有9个零点；综上所述，当时，函数有5个零点；当