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2014届高三数学寒假作业十四（综合练习4） 姓名____________学号___________ 一、填空题 1．设全集R，，则___________． 2．为实数，为虚数单位，若，则复数的模为_____． 3．现有在外观上没有区别的6件产品，其中4件合格，2件不合格，从中任意抽检2件，一件合格、另一件不合格的概率为___________． 4．在一次知识竞赛中，抽取10名选手，成绩分布情况如下： 成绩（分） 5 6 7 8 9 10 频数分布 1 0 2 3 3 1 则这组样本的方差为___________． 5．已知函数则___________． 6．设动直线与函数和的图象分别交于两点，则的最大值为___________． 7．已知，则的值为___________． 8．设公差为的等差数列的前项和为，若，则当取最大值时，的值为___________． 9．直线与函数（）的图象恰有一个公共点，则实数的取值范围是___________． 10．如果圆：上总存在两个点到原点的距离为1，则实数的取值范围是___________． 11．设为抛物线：上一点，为抛物线的焦点，若以为圆心，为半径的圆和抛物线的准线相交，则的取值范围是___________． 12．已知双曲线（）的两条渐近线均和圆：相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程是___________． 13．如图，直三棱柱中，，，为线段上的一动点，则当最小时，的面积为___________． 14．已知关于的实系数一元二次不等式（）的解集为R，则的最小值是___________． 二． （1）若，求实数的值； （2）设全集为R，若，求实数的取值范围． 16．已知是的三个内角，向量． （1）若，求的大小； （2）若，求的值． 17．已知抛物线与椭圆有公共焦点，且椭圆过点． （1）求椭圆方程； （2）点是椭圆的上下顶点，点为右顶点，记过点的圆为，过点作 的切线，求直线的方程； （3）过点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点，则直线是否经过定点？若是，求出该点坐标；若不经过，请说明理由． 18．学校拟在一块三角形边角地上建外籍教师和留学生公寓楼，如图，中，．欲在它的内接正方形中建房，其余部分绿化．记的面积为，正方形的面积为． （1）设，试求的最大值； （2）试指出的实际意义，并说明此方案是否为最佳 方案？若不是，请给出新的设计方案，并加以证明． 2014届高三数学寒假作业十四（综合练习4） 参考答案 1． 2．5 3． 4． 5．12 6．3 7． 8．9 9． 10． 11． 解：圆心到准线的距离是4，圆 半径，由于圆与准线相交，故，所以． 12． 解：圆：，据题意，，双曲线渐近线为，右焦点为圆心，所以，得．双曲线方程为． 13． 解：将平面与展开成一个平面（如图），由条件知：是边长为3的正方形，，则，．由勾股定理，得．在原图的中，设，则，，于是． 14．8 解：由题意，得，所以 ．令（），则．（当且仅当，即时等号成立） 15．解：由已知，得． （1）因为，所以所以． （2）因为，所以．因为，所以或，所以或，所以． 16．解：（1）因为是的三个内角，所以，由得，所以，，即 ，即，，．又因为，，所以． （2）由（1）及，得．（*） 若，则与（*）矛盾，所以，所以． 由（*）得，，，所以． 17．解：（1），则．又，得，所以，所求椭圆方程为． （2）由题意，易得，：，直线斜率不存在时，；直线斜率存在时，设为，所以，解得．所以直线为或． （3）显然，两直线斜率存在，设：．代入椭圆方程，得，解得点．同理得，直线：．令，得，所以直线过定点． 18．解：（1）在中，由，得．所以 ，．设正方形边长为，则，所以，所以，，．所以，，．令单调递减，所以当时，取得最小值，即取得最大值． （2）表示土地利用率，原图中给出的方案不是最佳方案，若按右图给出的方案，土地利用率最大值为．证明如下：，设正方形边长为，，所以，所以．所以，，．因为，，当且仅当，即时，取得最小值1．所以最大值为，此时为等腰直角三角形．由于，所以右图给出的方案更佳．