2014年高考理科数学(广东卷)试题及详细答案.doc

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数 学（理科） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数满足，则 A． B． C． D． 3．若变量满足约束条件，且的最大值和最小值分别为和，则 A．5 B．6 C．7 D．8 4．若实数满足，则曲线与曲线的 A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等 5．已知向量，则下列向量中与成夹角的是 A． B． C． D． 6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示. 为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2 %的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10 7．若空间中四条两两不同的直线，满足，，，则下列结论一定正确的是 A． B． C．与既不垂直也不平行 D．与的位置关系不确定 8．设集合，那么集合中满足条件 “”的元素个数为 A．60 B．90 C．120 D．130 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9 ~ 13题） 9．不等式的解集为 ． 10．曲线在点处的切线方程为 ． 11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 ． 12．在中，角所对应的边分别为. 已知，则 ． 13．若等比数列的各项均为正数，且，则 ． （二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线和的方程分别为和.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线和交点的直角坐标为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形中，点在上且，与交于点，则＝ ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数，，且． （1）求的值； （2）若，，求． 17．（本小题满分12分） 随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下： 30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36． 根据上述数据得到样本的频率分布表如下： 分组 频数 频率 3 0.12 5 0.20 8 0.32 （1）确定样本频率分布表中和的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图； （3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间的概率． 18．（本小题满分14分） 如图4，四边形为正方形，平面， ，于点，∥，交于点． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 19．（本小题满分14分） 设数列的前项和为，满足，，且． （1）求的值； （2）求数列的通项公式． 20．（本小题满分14分） 已知椭圆的一个焦点为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程． 21.（本小题满分14分） 设函数，其中． （1）求函数的定义域（用区间表示）； （2）讨论在区间上的单调性； （3）若，求上满足条件的的集合（用区间表示）． 2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数 学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B A B A D D 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9 ~ 13题） 9. 10. 11. 12. 2 13.50 （二）选做题（