临沂大学级第二学期 近世代数-答案【DOC精选】.docVIP

《近世代数》参考答案 一、选择题 1. B 2. D 3. C 4. D 5. B 6. B 7. C 8. C 9. A 10. B 二、填空题 1. _3_ 2. _2_ 3. _12_ 4. 域 5. 3 6. 素数 7. 8. 4 9. 9 , 3 三. 证明题 1. 证明： 显然非空. , 则=，从而此运算是的代数运算。 , 有 , , 故, 即G关于此运算满足结合律. ………….….(4分) , 有, 故是的左单位元. , 有, 使, 故是的左逆元. 所以整数集关于此运算作成群. ……………….(4分) 2. 证明: 设为布尔环, 则中每个元素都为幂等元, 从而, 有, 故. ………………..(4分) , 有, 从而, 又, , 因而有. 所以布尔环是交换环, 而且其中任何元素都有. ……………...(4分) 3. 证明: 设为一个有限群. 若中无阶大于2的元素, 则中阶大于2的元素个数为0, 因而为偶数. ……….…….....(2分) 若中有阶大于2的元素, 设, 且, 则, 且(否则, 有, 与矛盾). 如果也为中阶大于2的元素, 且, , 则, 且, . 因而中阶大于2的元素必定成对出现, 所以中阶大于2的元素个数为偶数. …………..….....(6分) 4. 证明: (1) 由条件, 域的阶为4, 因而由Cauchy定理知中有元素关于加法的阶为2. 又为域, 从而无零因子, 因而中每个非零元素的阶都为2, 所以char=2. …………..…….(3分) (2) 任取中非0及1的元素, 由于为阶为4的域, 从而为3阶乘法群且, 故由Lagrange定理知, 从而. .............................. (4分) 又且无零因子, 因而, 即. 又由char=2得, 所以. 所以中非0及1的两个元素都满足方程 …………..………...(3分) 5. 证明: 设为一个单群, 且, 为群同态满射. 由群同态基本定理知是的正规子群且, 而为单群, 因而或. ………..……...(4分) 当时, , 故为单群. 当时, 只含一个元素, 即为单位元群. 所以单群的同态象是单群或单位元群. ….……........(4分) 6. 证明: 由于, 故. 设是的正规子群, 且. 由有单位元且交换知. ………..……...(3分) 再由知存在, 但, 即中有多项式, 其中, 从而, 而, 因而, 从而, 有, 所以, 因此是的极大理想. ………….....(5分) 7. 证明: 由为循环群故设, (). , 由, 故存在整数, , , ……………….....(5分) 因而, 其中. 而为群的中心, 因而, 所以为交换群. ……………….(5分)