高中培优个性化讲义接直证明与间接证明.doc

第十五讲 直接证明与间接证明 教学目标：1、了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点． 了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点..了解数学归纳法的原理．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知识点1、直接证明 (1)综合法 定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． 框图表示：―→―→―→…―→(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)． (2)分析法 定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法． 框图表示：―→―→―→…―→. 间接证明 反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法． 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，kN*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 　设a、b、c＞0，证明＋＋≥a＋b＋c. [解答]　a、b、c＞0，根据基本不等式，有＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c. 三式相加：＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c. 保持本例条件不变 ，试证明a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)·(a＋b＋c)． 证明：a、b、c0，a2＋b2≥2ab，(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)，a3＋b3＋a2b＋ab2≥2ab(a＋b)＝2a2b＋2ab2，a3＋b3≥a2b＋ab2.同理，b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2，将三式相加得， 2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2. 3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)． a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．　　　　 1．已知x＋y＋z＝1，求证：x2＋y2＋z2≥. 证明：x2＋y2≥2xy，x2＋z2≥2xz，y2＋z2≥2yz，2x2＋2y2＋2z2≥2xy＋2xz＋2yz. 3x2＋3y2＋3z2≥x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz.3(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝1.x2＋y2＋z2≥. 已知函数f(x)＝tan x，x，若x1，x2，且x1≠x2，求证：[f(x1)＋f(x2)]f. [解答]　要证[f(x1)＋f(x2)]f，即证明(tan x1＋tan x2)tan， 只需证明tan，只需证明. 由于x1、x2，故x1＋x2(0，π)．故cos x1cos x20，sin(x1＋x2)0，1＋cos(x1＋x2)0， 故只需证明1＋cos(x1＋x2)2cos x1cos x2，即证1＋cos x1cos x2－sin x1sin x22cos x1cos x2， 即证cos(x1－x2)1.这由x1、x2，x1≠x2知上式是显然成立的．因此，[f(x1)＋f(x2)]f. 2．已知a＞0，求证： －≥a＋－2. 证明：要证 －≥a＋－2，只要证 ＋2≥a＋＋. a＞0，故只要证2≥2，即a2＋＋4 ＋4≥a2＋2＋＋2＋2， 从而只要证2 ≥ ，只要证4≥2， 即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立. 设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和． (1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？ [解答]　(1)证明：若{Sn}是等比数列，则S＝S1·S3，即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)， a1≠0，(1＋q)2＝1＋q＋q2，解得q＝0，这与q≠0相矛盾，故数列{Sn}不是等比数列． (2)当q＝1时，{Sn}是等差数列．当q≠1时，{Sn}不是等差数列．假设q≠1时，S1，S2，S3成等差数列，即2S2＝S1＋S3，2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)．由于a1≠0，2(1＋q)＝2＋q＋q2，即q＝q2， q≠1，q＝0，这与q≠0相矛盾．综上可知，当q＝1时，{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列． 3．求证：a，b，c为正实数的充要条件是a＋b＋c0，且ab＋bc＋ca0和abc0. 证明：必要性(直接证法)：a，b，c为正实数，a＋b＋c0，ab＋bc＋ca0，a