二次函数与等腰三角形【DOC精选】.docVIP

二次函数的综合应用㈠ 一、典例精析 考点一：二次函数与方程 1.（2011广东）已知抛物线与x轴有交点． (1)求c的取值范围；(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由． 解：（1）∵抛物线与x轴没有交点 ∴⊿＜0，即1－2c＜0 解得c＞ (2)∵c＞ ∴直线y=x＋1随x的增大而增大，∵b=1 ∴直线y=x＋1经过第一、二、三象限 2.(2011南京)已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）． ⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． 解：⑴当x=0时，． 所以不论为何值，函数的图象经过轴上的一个定点（0，1）． ⑵①当时，函数的图象与轴只有一个交点； ②当时，若函数的图象与轴只有一个交点，则方程有两个相等的实数根，所以，． 综上，若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为0或9． 考点二：二次函数与最大问题 1．（2010 福建晋江）（13分）已知：如图，把矩形放置于直角坐标系中，，，取的中点，连结，把沿轴的负方向平移的长度后得到. (1)试直接写出点的坐标； (2)已知点与点在经过原点的抛物线上，点在第一象限内的该抛物线上移动，过点作轴于点，连结. ①若以、、为顶点的三角形与相似，试求出点的坐标； ②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最大. 【答案】 解：(1)依题意得：；…………………………… (2) ① ∵，，∴. ∵抛物线经过原点，∴设抛物线的解析式为又抛物线经过点与点∴ 解得： ∴抛物线的解析式为. ∵点在抛物线上，∴设点. 1)若∽，则， ，解得：(舍去)或， ∴点.………………………………………………………………（7分） 2)若∽，则， ，解得：(舍去)或， ∴点.……………………………………………………………………（9分） ②存在点，使得的值最大. 抛物线的对称轴为直线，设抛物线与轴的另一个交点为，则点.………………………………………………………………………（10分） ∵点、点关于直线对称， ∴……………………………………………………………………（11分） 要使得的值最大，即是使得的值最大， 根据三角形两边之差小于第三边可知，当、、三点在同一直线上时，的值最大. ……………………………………………………………………………（12分） 设过、两点的直线解析式为， ∴ 解得： ∴直线的解析式为. 当时，. ∴存在一点使得最大.………………………（13分） 2.（2011安顺）如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标； ⑵判断△ABC的形状，证明你的结论； ⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值． 解：（1）b = 解析式y=x2-x-2. 顶点D (, -). （2）当x = 0时y = -2, ∴C（0，-2），OC = 2。 ∴B (4,0) ∴OA = 1, OB = 4, AB = 5. △ABC是直角三角形. （3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小。 解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E. ∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM ∴△C′OM∽△DEM. ∴ ∴，∴m =． 解法二：设直线C′D的解析式为y = kx + n , 则，解得n = 2, .∴ . ∴当y = 0时， ， . ∴. 5、（09江津）如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由. 解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代中得 ∴ ∴抛物线解析式为： (2)存在 理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴对称 ∴直线BC与的交点即为Q点， 此时△AQC周长最小 ∵ ∴C的坐标为：(0，3) 直线BC解析式为： Q点坐标即为的解 ∴ ∴Q(－1，2) （3）答：存在 理由如下： 设P点 ∵ 若有最大值，则就最大， ∴ ＝＝ 当时，最大值＝ ∴最大＝ 当时， ∴点P坐标为