二次函数基础知识及相关典型题目【DOC精选】.docVIP

2010二次函数基础知识及相关典型题目 1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 2.二次函数的性质 （1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴. （2）函数的图像与的符号关系. ①当时抛物线开口向上顶点为其最低点； ②当时抛物线开口向下顶点为其最高点. （3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为. 3.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线. 4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中. 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤. 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下； 相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线. 7.所有抛物线均相似！ 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线中，的作用 （1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. （2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线 ，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧. （3）的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）： ①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 . 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 （轴） （0,0） （轴） (0, ) (,0) (,) () 11.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （可以看成的图像向右平移h个单位，向上平移k个单位的图像所对应的函数。） （3）“交点式”：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式： .（由此得根与系数的关系！） 12.直线与抛物线的交点 （1）轴与抛物线得交点为(0, ). （2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). （3）抛物线与轴的交点 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； ③没有交点抛物线与轴相离. （4）平行于轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根. （5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点. （6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故 * 数学问题与研究的特点： “正”问题：给定一个抛物线（数字系数—字母系数），确定其性质； “反”问题：给定抛物线要满足的性质，确定该抛物线。 通常“正”问题来得简单，“反”问题会更复杂。这给了我们一个基本的衡量问题难度的标准。对学生而言，对“正”问题的学习是最基本的，“反”问题适可而止。 ** 注意代数形式与几何图像之间的联系。不同语言之间的转换经常会涉及问题理解的实质！理解是数学的核心。 *** 转化（化归）是一个基本的数学思想方法，初中二次函数的问题根本上都可以转化为的问题。学生不能深陷“题海”，教师更要有能力跳出“题海”，在思想上达到至真至简，返璞归真的境界。 第二部分 典型习题 １.（正问题）抛物线y＝x2＋2x－2的顶点坐标是 （ D ） A.（2，－2） B.（1，－2） C.（1，－3） D.（－1，－3） ２.（简单的反问题）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C　） Ａ．ab＞0，c＞0　Ｂ．ab＞0，c＜0　Ｃ．ab＜0，c＞0　　Ｄ．ab＜0，c＜0