二次函数直角三角形问题【DOC精选】.docVIP

1、已知抛物线与x轴交于A、 B两点，与y轴交于点C．是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 　由，解得　，． 　　 ∴　点A、B的坐标分别为（-3，0），（，0）． 　　 ∴　，， ． 　 　∴　， 　　　　，． 　　〈ⅰ〉当时，∠ACB＝90°．　由， 得． 　　 解得　． 　　 ∴　当时，点B的坐标为（，0），，，． 　　 于是． ∴　当时，△ABC为直角三角形． 〈ⅱ〉当时，∠ABC＝90°． 2：如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D。交Y轴于C，在抛物线第二象限图象上是否存在一点M，使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形，若存在，求出点 P的坐标。若没有，请说明理由 抛物线y=-x^2+bx+c与x轴交予A(1,0),B(-3,0)两点, 得-1+b+c=0 -9-3b+c=0 得b=-2,c=3 该抛物线的解析式y=-x^2-2x+3 点C为（0.3） △ABC的面积为1/2AB*OC=6 设在抛物线第二象限图象上存在点M(x0,y0)使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形 则x00,y00 y0=-x0^2-2x0+3 (1) 再由MB^2=MC^2+BC^2 得 (x0+3)^2+(y0-0)^2=(x0-0)^2+(y0-3)^2+(0+3)^2+(3-0)^2 由（1）和（2）可解得 y0=3,x0=0或者y0=4，x0=-1 又x00,y00 所以y0=4，x0=-1 在抛物线第二象限图象上存在点M(-1,4)使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形.解答： 解：（1）直线解析式为y=x+2，令x=0，则y=2， ∴A（0，2）， ∵抛物线y=x2+bx+c的图象过点A（0，2），E（﹣1，0）， ∴， 解得． ∴抛物线的解析式为：y=x2+x+2． （2）∵直线y=x+2分别交x轴、y轴于点P、点A， ∴P（6，0），A（0，2）， ∴OP=6，OA=2． ∵AC⊥AB，OA⊥OP， ∴Rt△OCA∽Rt△OPA，∴， ∴OC=， 又C点在x轴负半轴上， ∴点C的坐标为C（，0）． （3）抛物线y=x2+x+2与直线y=x+2交于A、B两点， 令x2+x+2=x+2， 解得x1=0，x2=， ∴B（，）． 如答图①所示，过点B作BD⊥x轴于点D， 则D（，0），BD=，DP=6﹣=． 点M在坐标轴上，且△MAB是直角三角形，有以下几种情况： ①当点M在x轴上，且BM⊥AB，如答图①所示． 设M（m，0），则MD=﹣m． ∵BM⊥AB，BD⊥x轴，∴， 即， 解得m=， ∴此时M点坐标为（，0）； ②当点M在x轴上，且BM⊥AM，如答图①所示． 设M（m，0），则MD=﹣m． ∵BM⊥AM，易知Rt△AOM∽Rt△MDB， ∴，即， 化简得：m2﹣m+=0， 解得：x1=，x2=， ∴此时M点坐标为（，0），（，0）； （说明：此时的M点相当于以AB为直径的圆与x轴的两个交点） ③当点M在y轴上，且BM⊥AM，如答图②所示． 此时M点坐标为（0，）； ④当点M在y轴上，且BM′⊥AB，如答图②所示． 设M′（0，m），则AM=2﹣=，BM=，MM′=﹣m． 易知Rt△ABM∽Rt△MBM′， ∴，即， 解得m=， ∴此时M点坐标为（0，）． 综上所述，除点C外，在坐标轴上存在点M，使得△MAB是直角三角形． 符合条件的点M有5个，其坐标分别为：（，0）、（，0）、（，0）、（0，）或（0，）． 解：（1）抛物线y=﹣x2+x+4中： 令x=0，y=4，则 B（0，4）； 令y=0，0=﹣x2+x+4， 解得 x1=﹣1、x2=8，则 A（8，0）； ∴A（8，0）、B（0，4）． △ABC中，AB=AC，AO⊥BC，则OB=OC=4， ∴C（0，﹣4）． 由A（8，0）、B（0，4），得：直线AC：y=﹣x+4； 依题意，知：OE=2t，即 E（2t，0）； ∴P（2t，﹣2t2+7t+4）、Q（2t，﹣t+4），PQ=（﹣2t2+7t+4）﹣（﹣t+4）=﹣2t2+8t； S=S△ABC+S△PAB=×8×8+×（﹣2t2+8t）×8=﹣8t2+32t+32=﹣8（t﹣2）2+64； ∴当t=2时，S有最大值，且最大值为64． （3）∵PM∥y轴，∴∠AMP=∠ACO＜90°； 而∠APM是锐角，所以△PAM若是直角三角形，只能是∠PAM=90°； 由A（8，0）、C（0，﹣4），得：直线AC：y=x﹣4； 所以，直线AP可设为：y=﹣2x+h，代入A（8，0），得： ﹣16+h=0，h=16 ∴直线AP：y=﹣